Sayı Yerleştirme ve Olimpiyat Soruları

1- Aşağıdaki şekilde en az bir köşesi ortak olan dikdörtgenler komşu sayılıyor. 1'den 8'e kadar sayıları öyle yerleştirin ki, ardışık sayılar komşu olmasın.
https://img405.imageshack.us/img405/...at20092012.png
Arada zihni de kontrol etmek lazım. :)
2- 1/(1.2)+1/(2.3)+1/(3.4)+...+1/(2001.2002)=?
3- 1.1!+2.2!+3.3!+...+99.99!=?
4- 1³+2³+3³+...+50³=?
5- 5⁰+5¹+5²+...+5⁵⁰=?
İlk soru zeka sorusu olmakla beraber, diğer üç soru olimpiyatlarda çıkmış sorulardır, buna rağmen çözümleri bilmece çözümü gibi olduğundan tek başlıkta topladım.
Soruların cevapları ve çözümleri kolay, biraz beyin fırtınası amacıyla bulunsun istedim. :)
İyi günler.

2,3,4 ün direk formülleri var ispat şeklinde mi istiyorsun :D

Evet, ispat şeklinde olmalı.
Ama soru üzerinden çıkarım yaparak çözmek de kabulümüzdür. :)
İyi günler.

3ü rahatça yapayım 4 için güzel bir ispatım vardı hatırlarsam eklerim :D
1.1!+2.2!+3.3!+...+99.99!
1!+2!+3!+.............+99!
------------------------
2!+3!+4!...........+99!+100!
-(1!+2!+3!+.............+99!)
-----------------------------
100!-1

https://img843.imageshack.us/img843/...at20092012.jpg

benimki kareler toplamı imiş buda benden olsun:D

ortadaki boş kısım onlara eşit denilip geçilecek bişey değil bence.

gereksizyorumcu'den alıntı:

ortadaki boş kısım onlara eşit denilip geçilecek bişey değil bence.

benim ödevimdi bu 100 alamamıştım zaten.
ortadaki boşluğunda onlara eşit olduğunu göstermek önemli sanırım
-Düşündümde tümevarım gibi yapsam n.yi gösteremem şekille ama ilk olarak 3ün karesine kadar bir şekil çizsem daha sonra 10a kadar bir şekil çizip onun doğruluğunu kabul ettikten sonra 11e kadar çizerek son kareleri saysam olur mu:D

formülün kendisi tümevarımla ispatlanıyor zaten.

Bir soru daha ekledim.
İyi çalışmalar.

3.Soruyla ilgili şöyle bir düşüncem var.Sonuç (n+1)!-1 oluyor.
Mesela 1.1!+2.2! işleminin sonucu 2 tane ifade var. 3!-1 , 5 bulunur.

Yada 1.1! + 2.2! + 3.3! => 4!-1 = 23 gibi...

soruda da aynı şekilde , (n+1)!-1 olacaktır.
99'dan 1'e kadar 99 tane terim vardır.(99-1+1)

100!-1 olur.

4.soruda 50'den 1'e kadar 50-1+1 = 50 tane terim vardır.

Bu soruda örneğin

1³+2³ => n.(n+1)/2 ifadesinin karesine eşittir. yani 2 tane terim var.2.3/2 = 3² = 9 olur.

50 tane terim varmış.

(50.(51)/2 )² = (25.51)² diye düşünüyorum.

ilk soruda , şöyle düşündüm.

1/1.2 + 1/2.3 => 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3 oluyor.aynı şekilde genel bi kural buldum.

sonda bitiren sayımız n olsun.yanında kendisinden bi büyük olanda n+1 olsun. işlemin sonucu aynen bunların birbirine bölümü (n/n+1) oluyor. yani 2/3 bulunur.(bu şekildeyken)

senin verdiğin soruda da aynen bu şekilde düşünelim.

2000 ve 1 fazlasını n ve n+1 olarak belirtelim. n/n+1 işlemimizin sonucu olacaktır. 2000/2001 yani.

diğer soruyla ilgili bi fikrim yok.

Düşünce doğru, nereden geldiğini göstermek lazım:
1/(1.2)+1/(2.3)+...+1/(2000.2001)+1/(2001.2002)
1/(n)(n+1)=1/n-1/(n+1)'dir.
1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/2000-1/2001+1/2001-1/2002
1/1-1/2002=(2002-1)/2002=2001/2002
İyi günler.

ben bu şekilde değilde deneyerek örüntü kurmaya çalışıyorum :)

diğer soruyu şöyle buldum ama:confused: bi yanlışlık yoktur inşallah.

1-5⁵¹ / -4 buldum:confused:

Cevap doğru, çözümü vereyim:
5⁰+5¹+5²+...+5⁵⁰=x
5 ile çarpalım:
5¹+5²+5³+...+5⁵⁰+5⁵¹=5x
İkinciden birinciyi çıkaralım:
-5⁰+5⁵¹=4x olur.
(5⁵¹-1)/4 olur.
İyi günler.

hm tm güzel sorularmış :) :) Sorduğun için teşekkürler :)

Sanırım ilk soru ile ilgilenen olmadı, ben cevabı vereyim, olmadı çözümü yazan çıkar:
https://img840.imageshack.us/img840/...at22092012.png
İyi günler.

ilgilenen olmuştur da başkaları da ilgilensin diye yazmamıştır sonuçta birçok soru gibi cevabı verildiği an üzerinde düşünülmenin bırakılacağı bir soru.

verilen çözümde 1 ve 8 in olduğu yerlere bakalım toplam 6 komşusu var. 2,3,4,5,6,7 sayılarının ise 2 şer komşusu var. bu sayılardan birinin buralara gelmesi halinde soruda istenmeyen durumun oluşacağı kesindir (kendisi hariç 7 sayı var)
1 ve 8 buralara gelmelidir. simetriden dolayı bişey farketmeyeceğinden 1 i üste 8 i alta yazalım. 1 in komşusu 8 in altına , 8 in komşusu da 1 in üzerine yazılacaktır. ortadaki sütun ortaya çıktı. şimdi 3 e bakalım üstte kalan 2 yerden birine yazılacaktır ve orta sütuna göre simetriden dolayı ikisi için de çözüm vardır biz soldakine yazalım. 6 ise alttaki karelerden birine yazılacaktır, eğer 3 ün altına yazaılırsa 4 ve 5 sağ tarafta komşu olacaklardır öyleyse 6 sağ alta yazılmalıdır. 4 ve 5 içinse sadece belirtilen yerler kalmış olur.
sonuçta 4 çözüm yapılabilir.