∞

∑

k=0

(

a

b

)^k

(|a|<|b|) olmak üzere bu serinin değerini bulalım.

1+(

a

b

)+(

a

b

)²+...

=

1

1-

a

b

=

1

b-a

b

=

b

b-a

elde edilir.


Örnek Yapalım,

ÖRNEK 1:

∞

∑

k=0

(

3

7

)^k

Eğer ifade 1 de başlıyorsa,

b

b-a

formülünden,

=

7

7-3

=

7

4

elde ederiz.

ÖRNEK 2:

∞

∑

k=1

(

1

9

)^k-1

ifadesine baktığımızda k=1 yazdığımızda ilk terim 1 oluyor yani bu formülü uygulayabiliriz.

9

9-1

=

9

8

bulunur.


ÖRNEK 3:

∞

∑

k=1

(

2

5

)=?

Bu ifadede k=1 yazdığımızda ifade 1 ile başlamıyor o halde ifadeyi düzenleyelim.

(

2

5

)²+(

2

5

)³+...

=(

2

5

)².[(1+(

2

5

)+(

2

5

)²+..]

şeklindedir. Parantez içindeki ifade için yukarıda yazdığım özelliği uygulayabiliriz.

=(

2

5

)².

5

5-3

=

4

12

Buradan şu sonucu çıkarırız. Eğer ifade 1 ile başlıyorsa, b/(b-a) formülünü direk yazabiliriz. Eğer ifade 1 dışında başka bir ifade ile başlıyorsa,

a₁.

b

(b-a)

ÖRNEK:

∞

∑

k=1

(

2

3

)^k

ifadesinde 1. terim 2/3 olduğu için cevabımız,

2

3

.

3

3-2

=2 olacaktır.