Pi sayısı nasıl hesaplanır ? [Hesaplama formülleri, yöntemleri]

Pi sayısı bilindiği gibi ilk matematikçiler tarafından bir dairenin çevre uzunluğunun çapına oranı olarak tarif edilmiştir. Ancak bu pi sayısını hesaplamada açık bir ifade değildir. Pi sayısını hesaplamak isterseniz daha profesyonel bir şeylere ihtiyaç vardır. Bir çok matematikçi zamanla pi sayısını hesaplayabilmek için bir çok yöntem geliştirmiştir.
Limit temsilleri, seri temsilleri, integral temsilleri vb bir çok formül elde etmişleridir.

İşte bu temsillerden bazıları




Toplam 158 pi formülü için buraya bakınız

Görüldüğü gibi yukarıdaki hesaplamalar ya çok fonksiyonlu bir hesap makinesi/bilgisayar olmaksızın başa çıkılamayacak kadar karmaşık ya da
https://www.matematiktutkusu.com/for...usuleibniz.jpg
serisinde (8. formül) olduğu gibi gibi pi sayısının virgülden sonraki 3. basamağını doğru olarak elde etmek için bile binlerce terimini hesaplamamızı gerektirecek kadar yavaş bir hızda pi‘ye yakınsarlar.

Yeri gelmişken bu kadar yavaş bir seriyi hızlandırmamızı sağlayan ve sadece basit bir hesap makinesiyle uygulanabilecek bir yöntemi sizinle paylaşayım;

Aitken Yöntemi

Ana serimizin kısmi toplamları Sn ile gösterilmişken
https://www.matematiktutkusu.com/for...kusuaitken.jpg

şeklinde An tanımlanır , An sayıları serimizin limitine Sn sayılarından çok daha hızlı bir biçimde yakınsar.

https://www.matematiktutkusu.com/for...usuleibniz.jpg
serisinde uygulama yaparsak
https://www.matematiktutkusu.com/for...usuaitkenc.jpg

11. terimin hesaplanmasında bile elde ettiğimiz 3,141736 sayısı pi sayısının gerçek değerinden sadece 0,00015 kadar farklıdır.

başka metodlar için buraya bakabilirsiniz

pi sayısını hesaplama yöntemlerinden en zevkli ve en sevdiğimki Monte Carlo Yöntemi'dir.
1777 yılında G.Louis Leclerc tarafından ortaya atılmıştır.

Aralarındaki uzaklık d olan birbirne paralel çizgiler çizilmiş bir kağıdın üzerine L uzunluğunda bir kürdan (veya kibrit çöpü, iğne vb.) rasgele atılır. d L'den büyük olmak şartıyla
bu kürdanın bir çizgiyi kesme olasılığını hesaplayalım.

https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=d%3EL
https://chart.apis.google.com/chart?...imes%20d%7D%20

m: isabet sayısı
n: toplam atış sayısı

https://chart.apis.google.com/chart?...m%7D%7Bn%7D%20

işlemleri sadeleştirelim:
d=6 br. L=3 br.

https://chart.apis.google.com/chart?...%5Cpi%20%7D%20
https://chart.apis.google.com/chart?...n%7D%7Bm%7D%20

bu yöntemle Pi sayısını hesaplamak çok uzun süre alır. Binlerce kez atış yapsanız dahi virgülden sonraki 3 veya 4 basamakdan daha fazlasını bulamazsınız. Bu yüzden hesaplamalarda hiç tercih edilmez.

hadi tebeşir savaşı yapalım :) :)

matematik öğretmeni kara tahtaya yere dik olmak üzere araları 3 cm olan çizgiler çizer ve sırayla her öğrenci ayağa kalkıp gözlerini kapatarak 1,5 cm boyunda renkli tebeşir parçasını kara tahtaya atar.
öğretmende tebeşirin izini bakarak renkli tebeşirin çizgiye isabet edip etmediğini kağıdına not eder.

örnek:
sınıf mevcudu 50 olan bir sınıfda her öğrenci 4 kez atış yaptı. n=50x4=200
70 kez isabet etti. m=70
https://chart.apis.google.com/chart?...imeq%202%2C857

3.14159265358979323846264

Adlı üye Allah Allah senin nickin benim fotonun ilk rakamlarındamı yazıyor ne
Ha bu flood deildir olamazda paylaşım için saolun

Akıl işi değil bu matematik :(

Parmak hesabı XD

Pi sayısı çok gizemli bir sayıdır. Doğum gününüzün pi sayısının hangi basamağında geçtiğini merak ediyomusunuz:) buradan pi sayısında doğum gününüzün kaçıncı basamakdan itibaren geçtiğini öğrenebilirsiniz. mesela doğum gününüz 03.08.1991 olsun. Search For kısmına 03081991 yazdığımızda 44,257,784. basamaktan itibaren bu sayının geçtiği görülür. Buradan ilk 200.000.000 basamak içinde bu sayı sıralamalarını görebiliriz. aynı zamanda istediğimiz basamaktan itibaren ilk 1000 basamağı görebiliriz.

2 tane kendi bulduğumu yazayım (pi^2)*(log(i,e))=-4lni ve pi=2(log(e^i,i)) zaten bunlarde euler özdeşliğinden çıkarılabilir.

Seri toplamı

yukarıdaki linkde Wolfram'dan yararlarak ∏ sayısını çabuk biçimde yaklaşık olarak hesaplayabilirsiniz.