TÜBİTAK denklem soruları

1- p,q asal sayılar ve n poztif bir sayı olmak üzere, 1/p+2013/q=n/5 eşitliğini sağlayan kaç (p,q,n) üçlüsü vardır?

C=7

2-x⁴ − 8x³ + 13x² - 24x +9 = 0 denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

C=7

3- x⁴ + y⁴ + 2x²y + 2xy² + 2 = x² + y² + 2x + 2y eşitliğini sağlayan kaç ( x,y ) gerçel sayı ikilisi vardır?

C=4

4- n⁴ + 2n³ − 20n² + 2n - 21 sayısı 0 ≤ n < 2013 koşulunu sağlayan kaç n tam sayısı için 2013 ile bölünür ?

C=6

5-n pozitif bir tam sayı olmak üzere n³ + 2 ve (n+1)³ sayılarının her ikisini de bölen asal sayıların sayısı en çok kaç olabilir?

C=1

1)payda eşitleyip 5.q + 5.2013.p= n.p.q eşitliğini yazın
(mod p ) için bakarsanız yukardaki eşitlik
5.q=0 (modp) burada iki durum sözkonusu
p=5 yada p=q olabilir
p=5 için

5.q+5.2013.5=n.5.q
q+5.2013=n.q
5.2013=q(n-1) (2013=3.11.61 yazarsak)
5.3.11.61=q(n-1)
buradan (p,q)=(5,3) (5,5) (5,11) (5,61) şeklinde dört seçenek
p=q için
5.q+5.2013.q=n.q²
5.2014=n.q
5.2.19.53=n.q
buradan (p,q)=(2,2) (5,5) (19,19) (53,53) şeklinde dört seçenek
toplamda 7 farklı (p,q) oluşur

2)x⁴− 8x³ + 13x² - 24x +9=(x²+ax+b)(x²+cx+d) yazıp a,b,c,d katsayılarını
-7 , 3 , -1 , 3 bulursanız ifade (x²-7x+3)(x²-x+3)=0 şeklinde çarpanlara ayrılır
sol parantezden reel kökler (7/2)±(√37)/2 çıkar toplamda 7/2 +7/2=7
sağ parantezden reel kök yoktur

3) sağ tarafı sola atıp çarpanlara
(ax²+by+c)²+(dy²+ex+f)²=0 şeklinde ayırmaya çalışıp iki parantezin reel köklerini bulmaya çalışın

Saolun hocam üçüncü soruyu da söylediğiniz gibi çözmeye çalışacağım.