1.
Konveks bir çokgenin iç açılarından 6 tanesi 120º dir. Çokgenin altıgen olduğunu gösteriniz.

2.
a,b,c bir üçgenin kenar uzunlukları , h_a,h_b,h_c de bu kenarlara karşılık gelen dikmelerin uzunluklarıyken
a≥b≥c ise a+h_a≥b+h_b≥c+h_c olduğunu gösteriniz.

3.
a_n dizisi
a_n+1=(a_n)²-a_n+1 ve a₁=2 olarak tanımlansın.
dizinin tüm terimlerinin ikişerli olarak aralarında asal olduğunu gösteriniz.

4.
Hilesiz bir parayı Ali 100 kere , Veli ise 99 kere atmıştır. Ali'nin Veli'den daha çok tura atma ihtimali nedir?

5.
Düzlemde herhangi 3ü doğrusal , herhangi 4ü de aynı çember üzerinde olmayan (2n+3) nokta verilsin. Bu noktaların 3ünden geçen ve noktaların tam olarak n tanesini içinde n tanesini de dışında bulunduran bir çemberin çizilebileceğini gösteriniz.

6.
a,b,c bir üçgenin kenarlarıyken
3(ab+bc+ac)≤(a+b+c)²<4(ab+bc+ac)
eşitsizliğinin her zaman sağlandığını gösteriniz.

C.1
Hocam şimdi basit basit çözcem beğenmeyeceksiniz. :) Herhalde (değil kesin) başka bir çözüm istediniz; ama şöyle gayet kolay:
İç açılarından 6 tanesi 120 ise dış açılarından 6 tanesi 60'dır. 60+60+60+60+60+60=360 olduğundan başka dış açı kalmaz. O halde çokgenimiz altıgendir.

soruyu çözdüğüne inanıyorsan basit olması daha iyi değil mi?. bence doğru.
soruları eskiden kalma bi kitaptan aldım. kitap 500 soru ve çözümden oluşuyor. bazılarının çözümlerine bakma fırsatım olmadı ama arkada nasıl olsa çözümler var diye görünüşü hoşuma giden soruları buraya yazıyorum. çözdüğün soruyu ben de böyle çözüp arkaya bakmıştım acaba onlar nasıl çözmüş diye , onlar da aynı çözmüş :) orijinalinde 4 tane 90º açı vardı dikdörtgen olduğunu gösteriniz diyordu.
neyse diğer sorular da bu kadar kolay olmasalar da çok da zor değiller , olimpiyata alıştırma soruları işte.

C.2
https://img707.imageshack.us/img707/...at21122012.png
Aynı işlemi b ve c'ye uygularsak; b+hb≥c+hc olur. Bu iki eşitsizlik birleştirilir, ispat tamamlanır.

ilk satırdan çözümde bi sıkıntı olacağı görünüyordu, bi açının sinüsünün 2 den küçük olduğunu kullanıp eşitsizlik çözmek fazla iyimser bence.
o sıkıntı düzeltilip alan için 2 ye bölünmesi gerektiği de düşünülürse bu yolla çözüm yapılabiliyor.

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

ilk satırdan çözümde bi sıkıntı olacağı görünüyordu, bi açının sinüsünün 2 den küçük olduğunu kullanıp eşitsizlik çözmek fazla iyimser bence.
o sıkıntı düzeltilip alan için 2 ye bölünmesi gerektiği de düşünülürse bu yolla çözüm yapılabiliyor.

---

Ben iyimser değilim ki; soru iyimser. :p Sonuçta bu şekilde çözülüyor soru. Ben sıkıntının nerede olduğunu anlamadım.

Alıntı:

---

Mat.'den alıntı

Ben iyimser değilim ki; soru iyimser. :p Sonuçta bu şekilde çözülüyor soru. Ben sıkıntının nerede olduğunu anlamadım.

---

:)
b-a≤(A(ABC).b/2ab)-(A(ABC).a/2ab) satırından sonra
A(ABC).b/2ab yerine h_a (ve diğerine h_b) yazılmış ama A(ABC)=a.h_a/2 olduğundan
bu ifade b-a≤h_a/4-h_b/4 olarak alt satıra geçmeliydi.

Az önce kim çözdü o soruyu? Hayır canım bu kadar iyimser olunmaz ki. sinüs<2 nedir ya :D :p

https://img837.imageshack.us/img837/...at21122012.png

3 ve 6 için güzel ipuçları olacak bişeyler yazayım ilgilenenler umarım tamamlar bu verilenleri...
3) a₁=2 a₂=3 a₃=7 a₄=43
buradan a_n=a_n-1.a_n-2...a₁+1 olacak bunu tümevarımla ispatlayabiliriz zor değil

ayrıca şöylede yapılabilir
ebob(a_n,a_n+1)=(a_n , a_n²-a_n+1)=(a_n , a_n²+1)=1
bu son kısımda yani (x,x²+1) =1 olduğunu ispatlarsanız yine çözüm tamamlanır

6) 3(ab+bc+ac)≤(a+b+c)² için

a=y+z
b=x+z
c=x+y
değerlerini yazarak x²+y²+z²≥xy+yz+xz ifadesine ulaşılabilir bununda doğru olduğu kolayca görülüyor

istek üzerine
4.
genel halde Ali (n+1) tane Veli ise n tane para atıyor olsun
sonuçta ya Ali Veli'den daha çok tura atacaktır, ya da Ali Veli'nin attığından daha fazla yazı atacaktır.
bu iki durumdan sadece 1 tanesi kesinlikle gerçekleşecektir. bu iki durum simetrik olduğundan (tura yerine yazı sorulmuş olduğunu düşünün) ikisinin ihtimali de aynı ve 1/2 dir.

6. soru için,
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc),
eşitsizlik düzenlenirse;
ab+ac+bc≤a²+b²+c²<2(ab+ac+bc) olur.
sol tarafı çözmek için; (x²-y²)≥0 ifadesi düzenlenirse x²+y²≥2xy dir. o halde;
a²+b²≥2ab a²+c²≥2ac b²+c²≥2bc yazılabilir.
bu üç ifade toplanırsa; 2(a²+b²c²)≥2(ab+ac+bc) elde edilir. her iki taraf ikiye bölünerek ifade elde edilir.
sağ kısım için üçgen eşitsizliği yazılırsa a<b+c, b<a+c, c<a+b elde edilir.
o halde a²<ab+ac b²<ab+bc c²<ac+bc yazılabilir. bu üç ifade toplanırsa;
a²+b²+c²<2(ab+ac+bc) elde edilir. :cool: