Dizi Sorusu

Hong Kong 2000/2

a₁=1 ve n∈N için a_n+1=(a_n/n)+(n/a_n) olarak tanımlanan dizide,

-a₂₀₁₂ den büyük olmayan en büyük tamsayıyı bulunuz,

-a₁₀₀ ü en fazla %1 hata ile hesaplayınız.

bu soruya hiç bakan olmadı mı?

1. si için şansımı deniyorum ve 44 diyorum....

evet hocam ilki için 44 doğru
ama bunu küçük sayılarda deneyip böyle olduğunu mu gördünüz yoksa bir ispatınız var mı?

√n < a_n < √n+(1/n)
tümevarımdan..................

siz çözümde ne kullanıyosunuz?

sağdaki √(n+(1/n)) mi yoksa (√n)+(1/n) mi hocam?
gerçi hangisi olursa olsun benim bulduğum sınırdan daha güzel sınır oluyor.

yukarıyı düzenledim

çözümünüzü merak ettim gerçekten çünkü sağdaki sınır oldukça iyi

aslında ilk önce a_n buldum a_n=√n + (1/2)

a₂₀₁₂=√2012 + (1/2)=44,8608961....

sonra küçük sayılarda deneme yaparken cevabı tümevarımla yazılır diye düşünüp bikaç karalamayla gösterdiğimi sandım ama o kadar kolay değilmiş ilk yazdığım sınırların o şekilde çıkarılması işin içinden çıkamadım...
sizin bulduğunuz sınırlar nasıldı? yada çözümde ne kullandınız ?
eğer tümevarımsa şimdide ben merak ettim nasıl yaptınız acaba:)

a_n bulunuşunu bikaç kez kontrol ettim eğer sizin çözüm a_n in bulunuşuna dayanmıyorsa onuda yazabilirim

orijinal çözümü nasıl bilmiyorum ama direkt dizinin terimlerini bulmaya yönelik olduğunu sanmıyorum. ben de sizin ilk önerdiğiniz çözüm gibi terimlerin bulunabileceği aralığı buldum ama benim bulduğum aralıklar sizin verdiğinize göre oldukça kötü (sağ taraf kötü ama soruyu çözmeye yetiyor)

aralıkları yazayım zaten bu aralıklar için tümevarımla ispatlaması oldukça kolay.
√n<a_n<√n²/(n-1)