Asal sayılar ve Faktöriyel

1. (3/2).36ⁿ sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı 240 ise n kaçtır?
(CEVAP:5)

2. X,Y∈N⁺ o.ü y⁵=54.x² eşitliğini sağlayan x ve y değerleri için x+y toplamının en küçük değeri?
(CEVAP:18)

3. 68!=x.y^z eşitliğinde x,y ve z birer sayma sayısı olmak üzere, x tek sayı ise z en çok kaçtır?
(CEVAP:66)

4. x ve y birer doğal sayı olmak üzere,

y=

26!

3^x

eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

(CEVAP:55)

5. n ve m doğal sayı olmak üzere;
93! = 4^m. 8ⁿ. A eşitliğinde A tek doğal sayı ise n+m toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
(CEVAP:44)
:confused:

4. x ve y birer doğal sayı olmak üzere,
y= 26!/3^x eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?


26! içerisindeki 3 çarpanı sayısına bakalım.
10 tane vardır.
O halde ; 3¹⁰ tane üç vardır
Yani x 3⁰ ,3[UST1[/UST] , ........., 3¹⁰'a kadar değer alır.Buradan

0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =55 bulunur.

93! = 4^m. 8^n. A eşitliğinde A tek doğal sayı ise n+m toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

4^m.4^n.2^m = 4^m+n , 93!'deki 2 sayısına bakalım 88 bulunur.44 tane de 4 çarpanı bulunur.

3. 68!=x.y^z eşitliğinde x,y ve z birer sayma sayısı olmak üzere, x tek sayı ise z en çok kaçtır?


x tek sayı dendiğinden y ve z'nin en büyük olabilmesi için x en küçük tek doğal sayı yani 1 olmalıdır.

68! = x. y^z

x en az 1 olur.Ynin ise en fazla olabilmesi için (2 çarpanı sayısına , 2 en fazlabulunacağından) baktık z=66 olur.

svsmumcu26'den alıntı:

93! = 4^m. 8^n. A eşitliğinde A tek doğal sayı ise n+m toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A=1 olsun n+m'in en büyük olması için m=en büyük n=en büyük a=en küçük olmalı

93! içerisindeki 4 çarpanı sayısına bakalım bunun için 2 çarpanı sayısına bakmamız yeterli olacaktır.

2^2m = 44 (44 tane 4 çarpanı var o halde ) m=22 bulunur.

aynı şekilde 8 çarpanı sayısına da bakalım aynı şekilde bun da da 2 çarpanı sayısına bakmak yeterli olacaktır çünkü 3 tane 2'yi yan yana çarparsak 8 elde ederiz (2.2.2 şeklinde)

o halde n=22 bulunur.

o halde m+n = 22.2 = 44 bulunur.

+
44 tane 4 çarpanı var?

svsmumcu26'den alıntı:

93! = 4^m. 8^n. A eşitliğinde A tek doğal sayı ise n+m toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A=1 olsun n+m'in en büyük olması için m=en büyük n=en büyük a=en küçük olmalı

93! içerisindeki 4 çarpanı sayısına bakalım bunun için 2 çarpanı sayısına bakmamız yeterli olacaktır.

2^2m = 44 (44 tane 4 çarpanı var o halde ) m=22 bulunur.

aynı şekilde 8 çarpanı sayısına da bakalım aynı şekilde bun da da 2 çarpanı sayısına bakmak yeterli olacaktır çünkü 3 tane 2'yi yan yana çarparsak 8 elde ederiz (2.2.2 şeklinde)

o halde n=22 bulunur.

o halde m+n = 22.2 = 44 bulunur.

çözümünü kontrol eder misin?

soru 1
(3/2).36^n

3²ⁿ . 2²ⁿ . 3 / 2
= 3²ⁿ⁺¹ . 2^2n-1 = 120 olur.(240 tane tam sayı böleni varmış 120 tane pozitif tam sayı böleni olur.)

üsleri birer arttırıp çarpalım

(2n+2).(2n)=120
4n²+4n=120
2n.(2n+2)=120
4n²+4n=120
n²+n=130
n²+n-30=0
(n-5).(n+6)=0

n=5
n=-6

svsmumcu26'den alıntı:

68! = 1. y^z

bize bu denklemi çözer misin?

not: hata aramıyorum ama bazen gerçekten çok fazla göze çarpıyor o yüzden de yazmadan geçemiyorum.

C-1

36ⁿ=36.36^n-1

(3/2).36.36^n-1=3.18.36^n-1=54.3 olarak yazalım.
=54.36^n-1
=3³.2.[2².3²]^n-1
=3³.2.2^2n-2.3^2n-2
=2^2n-1.3²ⁿ⁺¹

Tam bölenlerinin sayısı 240 ise pozitif tam bölenlerinin sayısı 120 olacaktır.
2n.(2n+2)=120
4n²+4n=120
n²+n=130
n²+n-30=0
(n-5).(n+6)=0

n=5
n=-6

evet :) farkettim , düzeltiyorum.

svsmumcu26'den alıntı:

soru 1

(2n+2).(2n)=120
n=5 olursa
12.10 =120 sağlanır.

svsmumcu, neden n=5 olursa dediğini açıklamadığın zaman bilmeyen biri için çözüm anlaşılmaz hale gelebilir. n=5 i nasıl bulduğunu da açıklarsan çözümü inceleyen herkes anlayabilir :) Yani çözümde 3-4 işlem atlamış oluyorsun direk n=5 dediğin zaman

Ekledim diğerini düzeltiyorum :)

2. X,Y∈N+ o.ü y⁵=54.x² eşitliğini sağlayan x ve y değerleri için x+y toplamının en küçük değeri?

y⁵=3³.2.x²

x² = 3².2⁴ bulunur.(en az)
x=3.2² = 12 bulunur.

böyle bir durumda , y⁵=3⁵.2⁵ olur y=6 bulunur

x+y = 12+6 = 18 bulunur.

gereksizyorumcu'den alıntı:

bize bu denklemi çözer misin?

not: hata aramıyorum ama bazen gerçekten çok fazla göze çarpıyor o yüzden de yazmadan geçemiyorum.

hatam nerde orayı anlamadım hocam ? yazarmısınız? , belki dikkatsizlikten kaçırıyorum şuan.

ayrıca , hatamı gördükçe yazın :):) yoksa yanlış bilirim.

svsmumcu26'den alıntı:

hatam nerde orayı anlamadım hocam ? yazarmısınız? , belki dikkatsizlikten kaçırıyorum şuan.

Benim dikkatimi çeken hatan şu, x=1 dedin. Daha sonra en fazla 2 çarpanı vardır diyerek y=2 demiş oldun. Buradan yola çıkarak da z=66 olduğunu söyledin. Geri kalan çarpanlar nerede savaş? :)

gökberk'den alıntı:

Benim dikkatimi çeken hatan şu, x=1 dedin. Daha sonra en fazla 2 çarpanı vardır diyerek y=2 demiş oldun. Buradan yola çıkarak da z=66 olduğunu söyledin. Geri kalan çarpanlar nerede savaş? :)

hayır , ben y'ye 2 demedim ki , ben en fazla 2 çarpanı bulunur dedim ve 2 çarpanı sayısına baktım.hatammı var burda ?

svsmumcu26'den alıntı:

hayır , ben y'ye 2 demedim ki , ben en fazla 2 çarpanı bulunur dedim ve 2 çarpanı sayısına baktım.hatammı var burda ?

Evet y=2 demediysen daha büyük hatan var.. y ye 2 den başka bir değer vermeyi dene bakalım ne olacak.

svsmumcu26'den alıntı:

93! = 4^m. 8^n. A eşitliğinde A tek doğal sayı ise n+m toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

4^m.4^n.2^m = 4^m+n , 93!'deki 2 sayısına bakalım 88 bulunur.44 tane de 4 çarpanı bulunur.

svsmumcu26'den alıntı:

hayır , ben y'ye 2 demedim ki , ben en fazla 2 çarpanı bulunur dedim ve 2 çarpanı sayısına baktım.hatammı var burda ?

yaptığın çözümle 2^66 yı 68! e eşitlemiş oluyosun. aslında kalan tüm tek çarpanların x sayısında toplandığını söylemek lazım ama onu da baştan 1 alırız diyerek kilitliyorsun.

neyse soruları değiştirelim sen de çöz bu konuyu tatlıya bağlayalım :) hem sana antrenman olur.

3 ve 5. sorularda x ve A için tek olma şartı olmasın. z>y olduğu da verilsin
sorularda m.n ve y.z en büyük ne değer alırlar? cevapları bilmiyorum ama çözeriz heralde :)

gökberk'den alıntı:

Evet y=2 demediysen daha büyük hatan var.. y ye 2 den başka bir değer vermeyi dene bakalım ne olacak.

ya ben y'ye (anlatamıyorum :):)2 çarpanı sayısını aradım.

Gereksiz yorumcu hocam , tamam da ? Sorumu hatalı ? Çözümde mi hata var tam anlıyamadım ya:confused::confused:

hee , evet hocam.hatayı farkettim ? Peki nasıl yapıcaz?

tüm artan çarpanları x sayısında toplarsın olur biter. boşverelim bunu sen o 2 soruyu yazdığım şekliyle çözmeyi dene bakalım.

3. 68!=x.yz eşitliğinde x,y ve z birer sayma sayısı olmak üzere, z>y

hocam tamam da ? Bu şekilde olursa da , yine hangi değeri verirsem sanki bir sayıya eşitliyormuşum gibi oluyor ? Çok kafam karıştı ya , ilksoruda:confused::confused:

nasıl olcak hocam ya ? allak bullak oldm.

svsmumcu26'den alıntı:

3. 68!=x.yz eşitliğinde x,y ve z birer sayma sayısı olmak üzere, z>y

hocam tamam da ? Bu şekilde olursa da , yine hangi değeri verirsem sanki bir sayıya eşitliyormuşum gibi oluyor ? Çok kafam karıştı ya , ilksoruda:confused::confused:

nasıl olcak hocam ya ? allak bullak oldm.

bu tür sorularda verilen x ve A gibi sayılar kafanızı karıştırmasın. bunlar çöp kovası ya da dolgu malzemesi artık ne derseniz yani genelde hiçbir anlamı olmayan nadiren çözümlere etki eden elemanlardır. esas amaçları yazım esnasındaki matematiksel formülasyonu tamamlamaktır. yani 68! hiçbir tam sayının tam kuvveti olmadığı için (1. dereceden büyük kuvvetten bahsediyoruz) soruyu 68!=y^z şeklinde yazıp bırakamazdı ya sözel olarak "68! sayısı bir y sayma sayısının z. kuvvetine bölünmektedir" gibi pek de kullanılmayan bir anlatıma başvuracaktı ya da 68!=x.y^z diyip x te artıkların toplanmasına izin verecekti. (anlam veremediğim nokta x için neden tek sayı olma şartı getirilmiş, gereksiz bilgi)

sorunun benim yazdığım haline gelirsek
evet bi şekilde y ve z için değerler uydurmaya çalışacaksın ve arta kalanlar otomatik olarak x te toplanacak. mesela 68!=x.2⁶⁶ diyip sonucu 132 bulabileceğin gibi 68!=x.10¹⁵ diyip sonucu 150 gibi daha büyük bi sayı da bulabilirsin. soru zaten en büyük ne olur diye soruyor.
neyse bu nispeten kolay ama diğeri yani m.n en çok ne olur biraz daha zor bir soru denebilir.

O halde ilksoruyu bulmak bir hayli uzun olcaktı.Tek sayıları xte topliyacaktık.Daha sonra arayacaktık.