Merhaba,dün aynı konu ile ilgili farklı bir soru sormuştum aynı başlık altında açmayıp yeni konu açtım umarım hata yapmamışımdır.

A, 9 dan büyük bir tam sayı olmak üzere; 3 ten A ya kadar olan doğal sayıların toplamı M; 6 dan A ya kadar olan doğal sayıların toplamı N dir.

M + N = 222

olduğuna göre, A kaçtır?

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11

Aynı gün içerisindeki 5 sorunuzu tek başlık altında toplayabilirsiniz, sonraki günler için yeni konu açmanız takip edilmesini kolaylaştıracaktır :)

C-1

1+2+3+4+5+...+A toplamını yazalım,
1+2+3+4+5+...+A=A.(A+1)/2

3 ten başladığı için 1+2=3=6/2 toplamını çıkartırız,

(A.(A+1)-6)/2=M

6 dan başlarsak, 1+2+3+4+5=15=30/2 toplamını çıkartırız.

(A.(A+1)-30)/2=N

M+N=222

A.(A+1)-6

2

+

A.(A+1)-30

2

=222

2A(A+1)=444+36
2A(A+1)=480
A(A+1)=240

a²+a-240=0
(a-15).(a+16)=0

a=15
a=-16

a>9

a=15 olmalıdır.

@gökberk

Teşekkür ederim sayenizde soruyu anladım.Ama farklı bir çözüme takıldım.

M ile N sayılarının sonlu toplamlarını bulup ondan sonra topladık anlattığınız yöntemde.Şu şekilde yapmayı denedim M ile N yi önce toplayıp sonra sonlu toplam formulunu uyguladım sonuca ulaşamadım bu yöntemle çözüm olmaz mı ?

Şöyle anlatayım :

3 ten A ya kadar olan doğal sayılar

3 + 4 + 5 +...+ A = M

6 dan A ya kadar olan doğal sayılar

6 + 7 + 8 +...+ A = N

M ile N yi topladım

9 + 11 + 13 +...+ 2A = M + N

Sonlu toplam formulunu uyguladım

M ile N göründüğü gibi ardışık tek sayıların toplamı son terim = 2n - 1 sonlu toplam formulunu uyguladım.N yi bulunca karesini aldım.

2n - 1 = 2A ise n = 2A + 1 / 2 ise n= ( 2A + 1 / 2 )²

4A²+4A+1 /4 = 222

Burdan sonra eşitliği devam ettirince doğru sonuca ulaşamadım.Bu yolun neden yalnış olduğunu açıklayabilir misiniz ? Yardımcı olursanız sevinirim.

Alıntı:

---

_DmC_'den alıntı

3 ten A ya kadar olan doğal sayılar

3 + 4 + 5 +...+ A = M

6 dan A ya kadar olan doğal sayılar

6 + 7 + 8 +...+ A = N

M ile N yi topladım

9 + 11 + 13 +...+ 2A = M + N

---

burada üstteki terimlrle alttaki karşılık gelen terimleri toplarsanız sizin yazdığınız gibi 9+11+13+...+2A elde etmezsiniz çünkü altta üsttekinden 3 tane az terim vardır yani alttaki A ile üstün (A-3) ü toplanacaktır
kısaca şöyle diyebiliriz bu toplam 9+11+13+...+(2A-3)+(A-2)+(A-1)+A a eşittir.
bu uzun yolda ısrar edilip çözüm muhakkak buradan çıkarılacaksa
bu toplam
=9+11+13+...+(2A-3)+(2A-1)+(A-2)=A²-(1+3+5+7)+(A-2)=222 şeklinde düzenlenebilir. (siz baştaki 1+3+5+7 kısmını da gözden kaçırmışsınız sanırım)
A²+A-18=222 → A²+A=A.(A+1)=240 , bu da zaten önceki yorumlarda elde edilen bir nokta.

@gereksizyorumcu

İlginiz için teşekkürler.3 terim az haklısınız hata yapmısım 1+3+5+7 yide gözden kaçırmışım.İnceliyorum tekrar.

Alıntı:

---

burada üstteki terimlrle alttaki karşılık gelen terimleri toplarsanız sizin yazdığınız gibi 9+11+13+...+2A elde etmezsiniz çünkü altta üsttekinden 3 tane az terim vardır yani alttaki A ile üstün (A-3) ü toplanacaktır
kısaca şöyle diyebiliriz bu toplam 9+11+13+...+(2A-3)+(A-2)+(A-1)+A a eşittir.
bu uzun yolda ısrar edilip çözüm muhakkak buradan çıkarılacaksa
bu toplam
=9+11+13+...+(2A-3)+(2A-1)+(A-2)=A²-(1+3+5+7)+(A-2)=222 şeklinde düzenlenebilir. (siz baştaki 1+3+5+7 kısmını da gözden kaçırmışsınız sanırım)
A²+A-18=222 → A²+A=A.(A+1)=240 , bu da zaten önceki yorumlarda elde edilen bir nokta.

---

Anlayamadığım yerler var.

3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +...+ A = M

6 dan A ya kadar olan doğal sayılar

6 + 7 + 8 + 9 +...+ A = N

N nin eşiti olan sayılarda M ye göre 3 + 4 + 5 terimleri eksik.Yani 3 tane az terim var.
Neden N deki A ile M deki A nın (A-3) ünü topluyoruz.(A-3) ile 3 + 4 + 5 arasındaki ilişkiyi kuramadım.

(A-3) ünü toplayınca 9+11+13+...+(2A-3)+(A-2)+(A-1)+A bu eşitliği elde ediyoruz yazdığınıza göre ama burda (2A-3)+(A-2)+(A-1)+A bunların nasıl çıkartıldığını çözemedim.Son olarak şu şekilde düzenlemişsiniz :

9+11+13+...+(2A-3)+(2A-1)+(A-2)=A²-(1+3+5+7)+(A-2)=222

burdada (2A-3)+(2A-1)+(A-2) nasıl oluştu anlayamadım.Eşitliğin devamında
A²-(1+3+5+7)+(A-2)=222 yapmışsınız A² yi nerden buluyoruz ve A-2 ile neden topladığımızıda çözemedim. 1 + 3 + 5 + 7 yi 9 a kadar olanları bulmak için çıkarttığımızı anladım bir tek:o:o:o

Bunları detaylı anlatabilir misiniz ilgilenirseniz sevinirim.

Çok anlamadığım nokta var kusura bakmayın sizide uğraştırıyorum :o:o

Alıntı:

---

_DmC_'den alıntı

Anlayamadığım yerler var.

3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +...+ A = M

6 dan A ya kadar olan doğal sayılar

6 + 7 + 8 + 9 +...+ A = N

---

Burdan sonraki sorularınız için gereksizyorumcu hocamın açıklamaları vardır ancak bu yazdığınızı görünce benim de aklıma alternatif bir çözüm geldi bunu da paylaşayım, sanırım en kısası bu :)

Yazdığınız ifadelere bakarsak,
N=M-12

M+N=M+M-12=222
2M-12=222
2M=234
M=117

M=(A.(A-1)/2)-3
M+3=(A.(A-1)/2)
120=A.(A-1)/2
240=A.(A-1)

A=15
A=-16
A>9
A=15 olmalıdır :)

Alternatif bir çözüm de bu şekilde :)

@gökberk

Alternatif yoluda anladım ama gereksizyorumcu hocanın yaptığı uzun yollu çözümü biraz detaylı anlatabilirseniz sevinicem.:)

@gereksizyorumcu hocanın anlattığı çözüm anlayamıyorum nasıl yaptını daha açıklayıcı anlatabilir misiniz ?

Alıntı:

---

burada üstteki terimlrle alttaki karşılık gelen terimleri toplarsanız sizin yazdığınız gibi 9+11+13+...+2A elde etmezsiniz çünkü altta üsttekinden 3 tane az terim vardır yani alttaki A ile üstün (A-3) ü toplanacaktır
kısaca şöyle diyebiliriz bu toplam 9+11+13+...+(2A-3)+(A-2)+(A-1)+A a eşittir.
bu uzun yolda ısrar edilip çözüm muhakkak buradan çıkarılacaksa
bu toplam
=9+11+13+...+(2A-3)+(2A-1)+(A-2)=A²-(1+3+5+7)+(A-2)=222 şeklinde düzenlenebilir. (siz baştaki 1+3+5+7 kısmını da gözden kaçırmışsınız sanırım)
A²+A-18=222 → A²+A=A.(A+1)=240 , bu da zaten önceki yorumlarda elde edilen bir nokta

---

3+4+5+...+A=M
6+7+8+...+A=N
Burada terim sayıları farklı, o nedenle toplamaya dikkat etmeliyiz.
Üstteki sayılar 3'ten başlıyor, alttakiler ise 6'dan. Dolayısıyla üstle altı sırayla toplarsak, 9+11+13+...+ elde ediyoruz. Daha sonra, üstün en son sayısı olan A'ya, altın sondan 3 eksik olan sayısı denk geliyor. Daha sonra altta A-2, A-1 ve A kalıyor. Dolayısıyla toplamımız:
9+11+13+...+(A+A-3)+(A-2)+(A-1)+A oluyor.
İyi günler.

@kcancelik

İlgilendiğiniz için teşekkür ederim iyi geceler :)

Anlamadığım bir yer daha var.

Alıntı:

---

burada üstteki terimlrle alttaki karşılık gelen terimleri toplarsanız sizin yazdığınız gibi 9+11+13+...+2A elde etmezsiniz çünkü altta üsttekinden 3 tane az terim vardır yani alttaki A ile üstün (A-3) ü toplanacaktır
kısaca şöyle diyebiliriz bu toplam 9+11+13+...+(2A-3)+(A-2)+(A-1)+A a eşittir.
bu uzun yolda ısrar edilip çözüm muhakkak buradan çıkarılacaksa
bu toplam
=9+11+13+...+(2A-3)+(2A-1)+(A-2)=A²-(1+3+5+7)+(A-2)=222 şeklinde düzenlenebilir. (siz baştaki 1+3+5+7 kısmını da gözden kaçırmışsınız sanırım)
A²+A-18=222 → A²+A=A.(A+1)=240 , bu da zaten önceki yorumlarda elde edilen bir nokta.

---

koyu renkle gösterdiğim yeri anlayamadım orayı anlatabilir misiniz ?

Bakabilir misiniz anlaşılmayan biyer var.

Alıntı:

---

burada üstteki terimlrle alttaki karşılık gelen terimleri toplarsanız sizin yazdığınız gibi 9+11+13+...+2A elde etmezsiniz çünkü altta üsttekinden 3 tane az terim vardır yani alttaki A ile üstün (A-3) ü toplanacaktır
kısaca şöyle diyebiliriz bu toplam 9+11+13+...+(2A-3)+(A-2)+(A-1)+A a eşittir.
bu uzun yolda ısrar edilip çözüm muhakkak buradan çıkarılacaksa
bu toplam
=9+11+13+...+(2A-3)+(2A-1)+(A-2)=A²-(1+3+5+7)+(A-2)=222 şeklinde düzenlenebilir. (siz baştaki 1+3+5+7 kısmını da gözden kaçırmışsınız sanırım)
A²+A-18=222 → A²+A=A.(A+1)=240 , bu da zaten önceki yorumlarda elde edilen bir nokta.

---

9+11+13+...+(2A-3)+(2A-1)+(A-2) Bu toplamın alttakine nasıl dönüştüğünü anlatabilir misiniz?

A²-(1+3+5+7)+(A-2)=222

Alıntı:

---

_DmC_'den alıntı

Bakabilir misiniz anlaşılmayan biyer var.



9+11+13+...+(2A-3)+(2A-1)+(A-2) Bu toplamın alttakine nasıl dönüştüğünü anlatabilir misiniz?

A²-(1+3+5+7)+(A-2)=222

---

buraları nasılsa sizin kendi yaptığınız çözümde halledildiği için hızlıca geçmiştim (bu arada kcancelik açıklamaların için teşekkürler , bayram dolayısıyla pek bakamamıştım)

ilk başta toplamımızın 9+11+13+...+(2A-3)+(A-2)+(A-1)+A olduğunu belirledik. (son 3 terim yalnız kaldığından öyle oldu)
sonra baştan eksik olan terimleri ekleyip çıkardık ve en sondaki 3 terimden ikisini 2A-1 verecek şekilde düzenledik diğerini de dışarda bıraktık
(1+3+5+7)+9+11+13+...+(2A-3)+((A-1)+A)+(A-2)-(1+3+5+7)
1 den 2n-1 e kadarki tek sayıların kareleri toplamının n² olduğunu siz yazmıştınız zaten. o zaman baştaki kısım A² dir
sonuç olarak şu elde edilmiş olur A²+(A-2)-(1+3+5+7) , bunun da 222 olduğu soruda verilmiş. gerisini de biliyorsunuz zaten.

@gereksizyorumcu

Alıntı:

---

buraları nasılsa sizin kendi yaptığınız çözümde halledildiği için hızlıca geçmiştim (bu arada kcancelik açıklamaların için teşekkürler , bayram dolayısıyla pek bakamamıştım)

ilk başta toplamımızın 9+11+13+...+(2A-3)+(A-2)+(A-1)+A olduğunu belirledik. (son 3 terim yalnız kaldığından öyle oldu)
sonra baştan eksik olan terimleri ekleyip çıkardık ve en sondaki 3 terimden ikisini 2A-1 verecek şekilde düzenledik diğerini de dışarda bıraktık
(1+3+5+7)+9+11+13+...+(2A-3)+((A-1)+A)+(A-2)-(1+3+5+7)
1 den 2n-1 e kadarki tek sayıların kareleri toplamının n² olduğunu siz yazmıştınız zaten. o zaman baştaki kısım A² dir
sonuç olarak şu elde edilmiş olur A²+(A-2)-(1+3+5+7) , bunun da 222 olduğu soruda verilmiş. gerisini de biliyorsunuz zaten

---

İlgilendiğiniz için çok teşekkür ederim anlamıyordum şimdi anladım.Ramazan Bayramınız Mübarek Olsun :)