S1) 90^a ve 105 ^2a sayılarının her ikisinide tam bölen 56 tane tam sayı olduğuna göre a kaçtır?

(cevap : 3)

S2) X ve Y tam sayıdır. (x-5) ve (y+5) sayılarının en büyük ortak böleni 5 tir.

https://img96.imageshack.us/img96/477/mat02082012.jpg


ise x+y toplamı kaçtır?

(cevap : 100)

S3) 172, 130 ve 109 sayısı a sayısına ayrı ayrı bölündüğünde her defasında 4 kalanı vermektedir.

Buna göre a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

(cevap : 28)

S4) 144 ve x sayılarının en büyük ortak böleni 6 dır. x<143 olduğuna göre x'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

(cevap : 576)

S5) Kenar uzunlukları 78 cm ve 104 cm olan bir bahçenin etrafına ve içine ve köşelerine gelme koşuluyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Buna göre en az kaç ağaca ihtiyaç vardır?

(cevap : 20)

1.
iki sayıyı da tam bölen her sayı o iki sayının obebini de tam böler
90=2.3².5 ve 105=3.5.7 olduğundan bu iki sayının obebi (3².5)^a olur
bunun da (2a+1).(a+1) pozitif , 2.(2a+1).(a+1) tam böleni vardır
2.(2a+1).(a+1)=56 → (2a+1).(a+1)=28 → a=3 bulunur

2.
(m,n)=1 olmak üzere
x-5=5m , y+5=5n olsun
5m/5n=7/13 verilmiş , öyleyse m=7 ve n=13 tür
x=40 , y=60 bulunur , toplam da 100 olur.

3.
öyleyse a sayısı bunların 4 er eksiğini yani 168,126,105 i böler ve dolayısıyla bunların obebini de böler
obeb(168,126,105)=21
21 in bölenleri 1,3,7 ve 21 ** bunlardan 1 ve 3 ü alamayız çünkü kalandan küçük oluyorlar.
toplam 7+21=28 olur

4.
144=6.24 , x=6.k olsun obeb=6 olduğundan (24,k)=1 olmalıdır.
x<143 olduğundan k<24 olur
kısaca bizim 24 ten küçük ve 24 ile aralarında asal sayıların toplamını bulmamız gerekli

yol 1: kaba kuvvet (24 küçük sayı olduğundan bu yol makul oluyor)
1+5+7+11+13+17+19+23=96

yol 2: (a,24)=1 ise (24-a,24)=1 olmasından hareketle her bir sayı için onun eşi olan 24-a sayısı da toplama girecektir.
24=2³.3 olduğundan 24 ten küçük ve 24 ile aralarında asal sayıların sayısı
=(2-1).2².(3-1)=8 dir. ve bunlar toplamları 24 olan 8/2=4 ikili oluşturur kısaca toplamları 4.24=96 dır.

k ların toplamını bulduğumuza göre son olarak buradan x lerin toplmına geçeriz
x=6k lduğundan toplamları 6.96=576 olur

5.
(78,104)=26 olduğundan
ağaç mesafesi en az 26 olacaktır.
1+(78/26)=4 ağaç enine
1+(104/26)=5 ağaç boyuna dikilmelidir.
4.5=20 ağaç gerekir.

tşkrler hocam ....bu site süper :)