Limit ve Türev (3 soru)

1-Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir
bir f fonksiyonu için

f(x+y)-f(x)=f(y)+2xy

lim

h→0

f(h)

2h

=2 olduğuna göre f in türevinde 2 kaçtır?

2-P(x)=(x+2).P^ı(x) olduğuna göre P(1) kaçtır?


3-

∞

∑

k=2

2^(k+n)

4^k

=16 olduğuna göre n kaçtır?

https://img525.imageshack.us/img525/...at02052012.gif

ceyhun44'den alıntı:

1-Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir
bir f fonksiyonu için

f(x+y)-f(x)=f(y)+2xy

lim

h→0

f(h)

2h

=2 olduğuna göre f in türevinde 2 kaçtır?

Soruda eksik var aslında. "Her x∈R için fonksiyonel denklem sağlansın" cümlesi de olsa daha iyi olur.

Çözüm:
L'Hôpital de kullanabiliriz, ama türevin limit tanımını kullanırsak daha etkileyici bir çözüm olur.

Tanım : lim(h to 0) [f(x+h)-f(x)]/h =f '(x)

lim (h to 0) f(h)/h=4 ise bu tanım gereği f '(0)=4'dür diyebiliriz.

Fonksiyonel denklemde x'e göre türev alırsak;

f '(x+y)-f '(x)=2y ---> x=0 ve y=2 için f '(2)-f '(0)=4 ---> f '(2)=8 bulunmuş olur.

Başka çözümler de var tabiî. Ayrıca f(x) kuralı da sorulabilir bu soruda.