Tüm rakamları x olan 33 basamaklı xxx...x doğal sayısının 11 ile bölümünden kalan 3 tür. Buna göre, tüm rakamları x olan 44 basamaklı xxx...x doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtìr?
Cevap:6

33 basamaklı xxxx....xxx sayısının 11 ile bölümünden kalan üç ise, x=3 olmalıdır. 42*3 dokuza tam bölündüğüne göre yanıt 2*3=6 olur.

İki değerini neden kullandığınızı anlıyamadım.Çözümü ayrıntılì anlatabilirseniz sevinirim.

A3B3 dòrt basamaklı sayısının 17 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre A8BC dört basamaklı sayısının 17 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap:10

En ayrıntılı haliyle 33 basamaklı xxxx.....xxxx sayısı x*10³²+x*10³¹+.........+x*10²+x*10+x şeklinde ifade edilebilir.
bu ifade de x*(10³²+10³¹+10³⁰+.......10²+10+1) şeklinde yazılabilir. bize soruda verilen bu sayının mod11'de 3 e denk olduğudur.

ÖNERME: n∈N olmak üzere 10⁽²ⁿ⁾≡1 (mod11),
ve 10⁽²ⁿ⁺¹⁾≡10 (mod11). (tümevarımla kolayca ispatlanabilir.)

O halde,
x*(1+10+1+10+1+10+......+10+1)≡ 3 (mod11) yazılabilir. bu ifadedeki 10+1 ler sadeleştirilebileceğine göre x*1≡3 (mod11) yazılabilir ve x=3 bulunur.

ÖNERME: ABCDEF.... doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan sayının basamakları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. (kolayca ispatlanabilir.)

O halde 44 basamaklı xxxxxx....xxxx sayısının 9 ile bölümünden kalan 44*x sayısının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Burada x=3 olduğunu biliyoruz.
44*3=42*3+2*3=(17*3)*3+2*3=9*17+6 yazabiliriz.
9*17 dokuz ile tam bölüneceğinden yanıt ''6'' dır. :cool:

A3B3 dòrt basamaklı sayısının 17 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre A8BC dört basamaklı sayısının 17 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap:10

Oradaki A8BC değil de A8B3 olacak sanırım.

A3B3 sayısını çözümlersek 1000A+300+10B+3 olur. 17 ile bölümünden kalanı bulmak istiyorsak buradaki toplam halinde yazdığımız sayıları tek tek 17'ye bölüp kalanlarını toplayarak da bulabiliriz.

1000A ve 10B sayılarını 17'ye bölünce elde edilen kalanlar sırasıyla x ve y olsun.

Yüzler basamağındaki 300'ün 17 ile bölümünden kalan 11 olur. Birler basamağındaki 3'ü bölmemize gerek yok 17'den küçük olduğu için yine kalan 3 olacaktır.

Bu durumda A3B3 sayısının 17 ile bölümünden kalan= x+y+11+3 = x+y+14 gelir. Ama soruda bu sayının 17 ile bölümünden kalan 3 denilmiş. Demek ki x+y+14=20 olmalı ki bunu da 17 ile böldüğümüzde kalan 3 olsun.

Bu durumda x+y=6 olur.

İkinci sayı A8B3= 1000A+800+10B+3

İkincisi için yine 1000A ve 10B sayılarının 17 ile bölümünden kalan sırasıyla x ve y olsun.

800'ün 17 ile bölümünden kalan 1'dir.

A8B3 sayısının 17 ile bölümünden kalan= x+1+y+3= x+y+4 olur.

x+y=6

x+y+4=10 olur.

Farkındayım karmaşık oldu biraz ama yazarak anlatmakta biraz güçlük çekiyorum.