5 adet olasılık sorusu

1. Bir zar 3 defa atılıyor. Sadece ikisinin 5 gelme olasılığı kaçtır? (Cev: 5/72)
2. İçinde 4 sarı, 5 mavi bilye bulunan bir torbadan çekilen iki bilyeden birinin sarı olduğu biliniyor. Diğerinin mavi olma olasılığı kaçtır? (Cev: 1/2)
3. ABCDEFG düzgün yedigenin köşegenlerinden biri rasgele çiziliyor. Çizilen köşegenin G den geçen bir köşegen olma olasılığı nedir? (Cev: 2/7)
4. Kenarları tamsayı ve çevreleri 6 cm olan tüm üçgenlerin içinden seçilen bir üçgenin eşkenar üçgen olma olasılığı nedir? (Cev: 1)
5. Beş çocuklu bir ailenin çocuklarından en az ikisinin erkek olma olasılığı nedir? (Cev: 13/16)

Arkadaşlar bu beş soruyu çözerseniz sevinirim. Teşekkürler.

1.
3!/2!.1/36.5/6=5/72

2.
C(4,1).C(5,1)/[C(4,1).C(5,1)+C(4,2)]=20/26=10/13
Veya:
(2.4/9.5/8) / [4/9.3/8 + 2.4/9.5/8] = (40/72)/(52/72)= 10/13

3.
n=7 için S(E)=n(n-3)/2=14 ve G'den geçen köşegen sayısı S(A)=4 --> P(A)=4/14=2/7

Devamını arkadaşlar getirebilir sanırım...

Eee, kimse devam etmemiş!..

Devam:
4.
2-2-2 , 2-3-1 , 1-1-4 üçgenleri vardır; kenar toplamları 6 olan, fakat bunlardan sadece 2-2-2 çizelebilirdir. Dolayısıyla cevap 1'dir.

5.
Burada erkek ve kız çocuk doğma olasılığını eşit kabul edersek ki; bu taktirde P(E)=P(K)=1/2'dir.
(Soruda doğma olasılıklarını vermeliydi, çünkü tıbbî matıkta erkek ve çocuk doğma olasılıkları eşit değildir; kromozom v.s'den dolayı. Düz mantıkta veya matematik düşüncede eşit olabilir veya kabul edilebilir.)

O zaman,
1/2⁵ . (5!/5! + 5!/4! + 5!/3!.2! + 5!/3!.2!) = 26/32 = 13/16

Teşekkürler. Ama 3. soruyu daha açık çözer misiniz? Neden G'den geçen köşegen sayısı 4 oldu? Burada n i kaç aldınız?

Bu formül hâlinde geometri kitaplarında vardır. Köşegen sayısı=n(n-3)/2

İspatını yapabiliriz:
n kenarlı bir çokgenin bir köşesiden n-3 tane köşegen çizilir. n=7 olduğundan G'den geçen 4 tane var. İspata gelince;

n kenarda n tane köşe olduğundan ve köşegen iki noktadan geçtiğinden C(n,2) tane bu çizgi-köşegenlerden çizilir. Fakat; bir köşenin komşu iki köşesinden köşegen çizilemeyeceğinden (çünkü köşegen bu taktirde kenarla çakışık olur, yâni köşegen olmaz) bu kombinasyondan n olan kenar sayısını çıkarmak gerekir, çünkü sağlı-sollu komşusu olan n tane köşe var:

C(n,2) - n = n.(n-1)(n-2)!/(n-2)!.2! - n = n(n-1)/2 -n = (n²-n-2n)/2 = (n²-3n)/2 = n(n-3)/2