1-
x*y=x+y-a
x#y=(x*2)*y
# işleminin birim elemanı 2 olduğuna göre a kaçtır?
Cevap=2


2-x*y=x+y-axy
işlemine göre 1/2 nin tersi yoksa, a kaçtır?
Cevap=2


3-a#b=2a+2b-2ab-1 işemine göre 3'ün tersi kaçtır?
Cevap=9/8


4-a*b=a+b-5 işlemine göre tersi kendisinin 4 katına eşit olan eleman kaçtır?
Cevap=2

Çözüm yolunu yazabilecek arkadaşlara çok teşekkürler....

1.
2 etkisiz eleman olduğundan;
2#y=(2*2)*y=y olmalıdır.
Bunun için "(2*2)"nin * işlemine göre birim eleman olması gerekir.
* işleminin birim elemanı "b" olsun.
x*b=x+b-a=x olmalıdır. Burada x'leri sadeleştirirsek; b=a olur. O halde * işleminin birim elemanı a imiş.
Yukarıda belirtmiştim; 2*2'nin * işleminin birim elemanı olması gerekiyordu. O zaman;
2*2=a'dır.
2*2=2+2-a=a
Bu denklemi çözelim.
2a=4
a=2

2.
Yutan elemanın tersi yoktur. O halde 1/2 yutan elemandır. O halde;
(1/2)*y=1/2+y-ay/2=1/2 olmalı.(Yutan elemanın özelliğini hatırlarsak.)
Bu denklemi çözelim.
y=ay/2 olur.
y=0 olduğu durummda bu eşitlik zaten sağlanır. Ancak bu işlemin tanımlı olması için her x,y değeri için sağlanmalı bu eşitlik. Bunun için de a=2 olmalı.

3.
Bir elemanla tersini işleme koyarsak sonuç her zaman etkisiz(birim) elemanı verir. O halde önce birim elemanı bulacağız. Sonra da 3 ile hangi sayıyı işleme koyarsak bu sınuca ulaşırız diye düşüneceğiz.
Birim elemanın özelliğinden dolayı, b birim elemanı göstermek üzere;
x#b=x olmalı.
x#b=2x+2b-2xb-1=x
Bu denklemi çözelim.
b(2-2x)=1-x
b=1/2
Şimdi de 3'ün tersine "t" diyelim. Ters elemanın özelliğinden;
3*t=1/2 olmalı. (1/2 etkisiz elemandı.)
3*t=6+2t-6t-1=1/2
Bu denklemi çözelim.
5-(1/2)=4t
9/2=4t
9/8=t

4.
3. soruyla benzer çözüm yapıyoruz. Önce birim eleman;
x*b=x+b-5=x
b=5
Birim elemanı bulduk. Şimdi soruda bizden istenen sayıya m diyelim. Tersi 4m olur. Ve tersin özelliğinden;
m*4m=5 olmalı.
m*4m=m+4m-5=5
Bu denklemi çözersek;
5m=10
m=2

2. soru için alternatif yol.
Ek bilgi:

Etkisiz elemanı bulurken, en son sadeleştirme kısmında , sadeleştirilen ifadeyi 0 yapan elemanın tersi yoktur ve bu eleman yutan elemandır.

e*x=x
x+e-a.x.e=x
e(1-a.x)=0
burada etkisiz elemanın 0 olduğu görülüyor, ancak bu bir şarta bağlı, 1-a.x≠0 olma şartına.
Eğer x=1/2 yutan eleman ise, o zaman 1-a.x ifadesini 0 yapan x değeri de 1/2 olmalı.

1-a.(1/2)=0
a=2