Modüler Aritmetik Soruları Çözümleri
Soru 1
43579 sayısı Z/9 da a denklik sınıfının elemanı olduğuna a kaçtır?
Çözüm 1
Soruyu şu şekilde düşünelim, 43579 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
4+3+5+7+9=28
28=1 (mod 9)
--------------------------------------
Soru 2
767.(-3182) çarpımının 3'e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm 2
Önce ayrı ayrı kalanları bulalım.
767= 2 (mod 3)
-3182= -2 (mod 3)
-2= 1 (mod 3)
Sayılar çarpım durumunda olduğu için kalanları da çarparız.
1.2=2(mod 3)
--------------------------------
Soru 3
287 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm 3
"Birler basamağındaki rakam kaçtır?" Bu cümleden anlamamız gereken şey sayının; "10 ile bölümünden kalan kaçtır?" ile aynı.
Bu tarz soruları çözmek için öncelikle 2'nin küçük kuvvetlerinin 10 ile bölümünden kalana bakmalıyız.
2¹≡2 (mod 10)
2²≡4 (mod 10)
2³≡8 (mod 10)
2⁴≡6 (mod 10)
2⁵≡2 (mod 10)
Başa döndük, buraya kadar bakmamız yeterli. 2'nin üssü olan sayı 4 ile bölünüyorsa kalan 6 oluyormuş. 4 ile bölümünden kalan 1 ise 2, 2 kalanını veriyorsa 4, 3 kalanını veriyorsa 8 oluyor.
87/4=21.4+3 yani kalan 3 olduğundan cevap 8 olmalıdır.
--------------------------------------
Soru 4
Bugün günlerden cumartesi ise 100 gün önce hangi gündü?
Çözüm 4
Bir haftada 7 gün olduğuna göre her 7 günde bir cumartesi olacak. Cumartesiden başlayıp geriye 100 gün saymak yerine 100≡x (mod 7) denkliğinde x'i bulalım.
100=14.7+2 yani kalan 2 olduğundan cumartesiden 2 gün geri gitmemiz yeterlidir.
Cevabımız perşembe olacaktır.
--------------------------------------
Soru 5
22≡4 (mod x) denkliğini sağlayan x değerleri kaç tanedir.
Çözüm 5
Bizden istenen, 22'yi x sayısına böldüğümüz zaman bulduğumuz kalan ile 4'ü x sayısına böldüğümüzde bulduğumuz kalanın aynı olması.
Bu değeri sağlayan x sayıları şunlar olabilir,
22≡4 (mod 1)
22≡4 (mod 2)
22≡4 (mod 3)
22≡4 (mod 6)
22≡4 (mod 18)
Yani 5 farklı x sayısı yazılabilir.
