Çözümlü Türev Soruları -I-

1. Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
a) f(x) = x²

b) f(x) = √x

c) f(x) =
1
3
x³

Çözüm:
a) f'(x) = 2.x²⁻¹ = 2x¹ = 2x

b) f(x) = √x = x^1/2

f'(x) =

1
2
x^(1/2)-1 =
1
2
x^-1/2 =
1
2√x

c) f(x) =
1
3
. 3x^3-1 = x²

2. Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
a) f(x) = 2x.(x² + 1)
b) f(x) = x².(1 - x³)

Çözüm:
a) f´(x) = (2x)´(x² + 1) + (2x) . (x² + 1)´
= 2.(x² + 1) + 2x.(2x)
= 2x² + 2 + 4x²
= 6x² + 2

b) f´(x) = (x²)´.(1 - x³) + (x²).(1 - x³)´
= (2x).(1 - x³) + x²( -3x²)
= 2x - 2x⁴ - 3x⁴ = 2x - 5x⁴

3. Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
a) f(x) = (x²- 2x)⁵

b) f(x) =
x-1
2x+1

Çözüm:
a) f´(x) = 5.(x²- 2x)⁴.(x²- 2x)´
= 5.(x²- 2x)⁴.(2x- 2)

b) f´(x) =
(x-1)' . (2x+1) - (x-1) . (2x+1)'
(2x + 1)²

=
1 . (2x+1) - (x-1) . (2)
(2x+1)²

=
2x + 1 - 2x + 2
(2x + 1)²
=
3
(2x + 1)²

4. : f:R → ( -4, +∞) f(x) = y = x² - 4 fonksiyonu veriliyor.
(f⁻¹)´(x) nedir?

Çözüm: Fonksiyonun tersini alıp türevini almanın yanında;

(f⁻¹)′ (y0) =
1
f ′(x₀)

f′(x₀) ≠ 0′ formülü ile yapabiliriz.

y = x² - 4
x = √y + 4

(f⁻¹)′(y₀) =
1
f′(x₀

(f⁻¹)′(y) =
1
2x
=
1
2√7+4
olduğundan

(f⁻¹)′(x) =
1
2√x+4
olur.

5. : f, g : R → R f(x) = x² + 5, g(x) = 3x - 5 ise
(fog)´(x) değerini bulalunuz.

Çözüm:
I. yol :
(fog)´(x) = f´[g(x)] . g´(x)
=(2x)o[3x - 5].3
=2(3x - 5).3
=(6x - 10).3 = 18x - 30

II. yol :
Fonksiyonun bileﬂkesi alınır, sonra türevlenir.
(fog)(x) = f [g(x)] = (3x-5)² + 5 = 9x² - 30x + 30
(fog)´(x) = 18x - 30