Geometrik Dizi Soruları Çözümlü 5 Adet

1. pozitif terimli (a_n) geometrik dizisinde a₄ = 9 ve a₆ = 16 ise a₅ i bulunuz.

Çözüm:
Bir geometrik dizinin genel terimi a_n = a₁.r^n-1 olduğundan
a₄ = a₁.r³
a₅ = a₃.r⁴
a₆ = a₁.r⁵
olur.
Burada görüyoruz ki a₅ = a₃.r⁴ eşitliğinin her iki tarafının karesini alırsak
a₅² = a₁² . r⁸ = a₁ .r³.a₁ .r⁵ = a₄.a₆ olur. Bu eşitlikten;
a₅² = a₄.a₆ ⇒ 9.16 ⇒ a₅ = 12 olarak bulunur.

2. Terimleri 1, 2, 4, 8, 16, ... ,2^n-1, 2ⁿ olan geometrik dizisinin baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimler çarpımını bulunuz.

Çözüm:
Terimleri 1, 2, 4, 8, 16, ... ,2^n-1, 2ⁿ olan geometrik dizisinin baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimleri
a₁ = 1 ve 2ⁿ = a_n
a₂ = 2 ve 2^n-1 = a_n-1
a₃ = 4 ve 2^n-2 = a_n-2
olur.
Görüldüğü üzere;
a₁.a_n = a₂.a_n-1 = a₃.a_n-2 = ... = 2ⁿ dir.

3. Monoton artan bir geometrik dizinin ardaşık üç teriminin çarpımı 27 ve bu terimlerin aritmetik ortalaması

13

3

tür.

Bu üç terimi bulunuz.

Çözüm:
Dizinin ardışık üç terimi a_n, a_n+1, a_n+2 olsun.
a_n.a_n+1.a_n+2 = 27 ve

(a_n+a_n+1+a_n+2)/3 =

13

3

⇒ a_n+a_n+1+a_n+2 = 13 tür.

Dizi geometrik olduğundan a_n+1² = a_n.a_n+2 dir.

a_n.a_n+1.a_n+2 ⇒ a_n+1 = 3 bulunur. Bu değer yukarıdaki bağıntıda yerine konursa,
a_n.a_n+2 = ve a_b + a_n+2 = 10 bulunur.
Toplamrı 10, çarpımları 9 eden sayılar 1 ile 9 ve dizi artan olduğundan a_n = 1, a_n+2 = 9 dur.
O halde, aranılan ardışık 3 terim
1,2,3 olur.

4. 2, 4, 8, 16, ... olarak verilen geometrik dizinin ilk 10 teriminin toplamını bulunuz.

Çözüm:
S_n = [a₁(1 - rⁿ)]/(1-r), r ≠ 1

a₁ = 2, n = 10, r = 4/2 = 2

S₁₀ =

2(1-2¹⁰)

1-2

= -2(1-2¹⁰)

5. 2 ve 64 sayıları arasına, bu sayılarla birlikte geometrik dizi oluşturacak biçimde 4 sayı daha yerleştilirse bu geometrik dizinin toplamı kaç olur bulunuz.

Çözüm:
2(a₁), a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, 64(a₆)

a₆ = a₁.r⁵ ⇒ 64 = 2.r⁵ = 32 = 2⁵ ⇒ r = 2 dir.
Bu 6 terimin toplamı ise,
S₆ = a₁.(1-r⁶)/(1-r) = 2.(1-2⁶)/(1-2) = -2(1-2⁶) = -2+2⁷

Eline sağlık