Çözümlü Logaritma Soruları

(Yazımlarda yanlışlık olduysa affola!)

1) log(x.y)²=log30 ve log₃y=logx olduğuna göre y kaça eşittir?
-----------------
2log(x.y)=2logx+2logy=log30 eşitliğine ulaşırız. İkinci ifadeyi 10 tabanın alalım.

log₃y=logx ==> (logy)/(log3)=logx ve buradan logy=log3.logx olarak elde edilir.

İkinci bulduğumuz logy ifadesini ilk eşitlikte yerine yazarsak
2logx+(2log3.logx)=log30
2logx(1+log3)=log30
2logx(log30)=log30
2logx=1
logx=1/2 ve x=√10 olarak bulunur. Şimdi x gördüğümüz yere ilk denklemde √10 yazalım.

2logx+2log√10=log30
2logx+log10=log30
2logx=log3
x²=3 ve x=√3 olarak bulunur.

2) lnx+lny=4 ve lnx-lny=2 olduğuna göre x/y oranı kaçtır?
------------------
Eşitlikleri taraftarafa toplayalım.

2lnx=6
lnx=3 ve x=e³

Denklemlerin birinde x değerini yazarsak:
lne³+lny=4
lny=1
y=e olarak gelir

x/y=(e³)/e=e²

3) lnx+ln√x+ln∜x...=4 olduğuna göre x kaçtır?
-------------------
lnx+ln√x+ln∜x...=ln(x.√x.∜x...)=ln(x^{1+(1/2)+(1/4)...}) = lnx²=4
Buradan lnx=2 ve x=e² olarak bulunur.

4) log(x⁵-1)-log(x⁴+x³+x²+x+1)=2 ise x kaçtır?
-------------------
log(x⁵-1)-log(x⁴+x³+x²+x+1) = log[(x⁵-1)/(x⁴+x³+x²+x+1)] = log(x-1)=2
Buradan x-1=100 ve x=101

5) log_√7+√6^√7−√6 + log_√43+√42^{√43−√42} ifadesi kaça eşittir?
--------------------
İfadelerin tabanları aynı olmadığıntan tek tabanda yazamıyoruz. Burada yapmamız gereken iki ifadeninde yanına 1 ekleyip 1 çıkarmak, bu eşitliği bozmayacaktır.

-1+1+log_√7+√6^√7−√6 + -1+1+log_√43+√42^{√43−√42}

= -1+log_√7+√6^√7+√6+log_√7+√6^√7−√6 - 1+log_√43+√42^√43+√42+log_√43+√42^{√43−√42}

= -1+log_√7+√6¹ - 1+log_√43+√42¹
= -1+0-1+0
=-2

6) logx≠-1 ve (logx)³=-1 olduğuna göre, logx'in karesi kendisinden kaç fazladır?
---------------------
(logx)³+1=0
(logx+1)((logx)²-logx+1)=0 olacaktır. ( logx≢-1)
(logx)²=logx-1 olduğundan karesi kendisinden -1 fazladır.

7) log₃(log₉x)=log₉(log₃x) eşitliğini sağlayan x değeri kaça eşittir?
----------------------
log₃(log₉x)=log₃(√log₃x) , tabanları eşitledik, sıra üslerde.

log₉x=√log₃x
(log₉x)²=log₃x
[(1/2).log₃x]²=log₃x
(1/4).(log₃x)²=log₃x
(1/4)log₃x=1
log₃x=4
x=81

8) (3x)^log_x5+(5x)^log_x3-3^log_x5x+5^log_x3x=6250 ise x kaçtır?
-----------------------
= [5.3^log_x5] + [3.5^log_x3] - [3.3^log_x5] + [5.5^log_x3]
= [5.5^log_x3] + [3.5^log_x3] - [3.5^log_x3] + [5.5^log_x3]
= [10.5^log_x3]=6250
= 5^log_x3=625
= log_x3=4 ve x=∜3 bulunur.