1)x<0 olmak üzere y=x²+3 parabolünün (-1,0) noktasından geçen teğetinin parabole değme noktasının apsisi kaçtır?

Çözüm

Parabol üzerinde bir x noktası alalım o zaman apsisi x ise ordinatı x²+3 olur yani noktamız (x,x²+3) sonra iki noktası bilinen doğru denkleminden eğimini buluruz buda (x²+3)/(x+1) e eşittir aynı zamanda teğetin eğimi fonksiyonun birinci türevine eşittir. Buradan (x²+3)/(x+1)=2x

2x²+2x=x²+3 buradan x=1 ve x=-3 gelir

2)f(x)=x³+mx²+2m+1

eğrisinin x=-1 deki teğeti y=3-x doğrusuna paralel olduğuna göre m kaçtır?

Çözüm

doğruyla teğet paralel ise eğimleri eşittir. doğrunun eğimi -1 dir. O zaman fonksiyonun türevini aldığımızda f'(x)=3x²+2mx olur x=-1 yazarsak 3-2m=-1 m=2 dir

3)y=x³-6x²-2x-7 eğrisin x eksenine paralel teğetlerinin değme noktalarının apsislerinin toplamı kaçtır?

Çözüm

x eksenine paralel ise eğimleri 0 demektir

türevini alıp sıfıra eşitlersek

3x²-12x-2=0 denklemi gelir değme noktalarının apsisleri toplamını bulmak bu denklemin kökler toplamını bulmak demektir -(-12)/3=4 tür

4)y=x³-x+1 eğrisinin x=1 noktasındaki teğeti eğriyi başka bir noktada daha kesiyor ise bu noktanın ordinatı kaçtır?

Çözüm

öncelikle teğetin hangi noktadan geçtiğini bulalım x=1 için y=1 çıkar yani (1,1) noktasından geçiyormuş. şimdide parabol üzerinde bir x noktası alırsak ordinatı x³-x+1 olur diğer noktam (x,x³-x+1) dir iki noktası bilinen doğru denkleminden (x³-x)/(x+1) olur fonksiyonun türevini alıp 1 yazarsak da yine teğetin eğimini bulmuş oluruz buna göre (x³-x)/(x+1)=2 x³-3x+2=0=(x-1)(x²+x-2)=(x-1)²(x+2) x=1 V x=-2 x=-2 için ordinat -5 gelir

5)y=x³-3x²+5 eğrisinin dönüm noktasındaki teğetinin eğimi nedir?

Çözüm

fonksiyonun ikinci türevinin kökü dönüm noktasını verir. buna göre ikinci türevi 6x-6 dır bunu sıfıra eşitlersek 6x-6=0 x=1 fonksiyonun birinci türevi teğetin eğimini verir. 3x²-6x de x yerine 1 yazarsak istenen eğimi buluruz x=1 için -3 gelir

6)y=2x²+k parabolünün x=a daki normalinin denklemi y=1/2x+1 olduğuna göre a+k kaçtır?

Çözüm

Öncelikle a değerini bulmaya çalışalım fonksiyonun türevi 4x tir x=a için eğimi 4a dır ancak bize normalin eğimi lazım m_t.m_n=-1 olduğundan m_n=-1/4a dır aynı zamanda x=a noktasında (a,2a²+k) olur.Şimdi de eğimi ve bir noktası bilinen doğru denkleminden

y-(2a²+k)=-1/4a(x-a)

ifadeyi toparlarsak y=9a²/4-k-ax/4

-ax/4=1/2x

a=-2

9-k=1 k=8

çıkar işlem hatası yapmadıysak :D

7)f(x)=x²+2x-3 parabolü ile y=x-5 doğrusu arasındaki en kısa uzaklık kaçtır?

Çözüm

parabolle doğrunun durumlarını inceleyelim x²+2x-3=x-5 x²+x+2=0 delta küçük 0 olduğundan parabol ile doğru birbirlerini kesmezler. o zaman elimde öyle bir doğru olmalıki parabole teğet diğer doğruyada paralel olmalıdır bu iki doğru arasındaki uzaklık bize en kısa uzaklığı verecektir.

şimdi parabol üzerinde bir değme noktası alalım (t,t²+2t-3) fonksiyonun türevini alalım 2x+2 f'(t) bize eğimi verecektir eğim 2t+2 dir y=x-5 doğrusunun eğimide 1 dir seçtiğim doğru paralel olduğundan eğimleri birbirine eşit olmalıdır. 2t+2=1 t=-1/2 t=-1/2 yazarsam y=-15/4 gelir aradığım noktan (-1/2,-15/4) tür sonra noktanın doğruya uzaklığı formülünden
|-15/4-(-1/2)+5|/√2=7√2/8 gelir

Ellerine sağlık serkanım :) Bunca çalışmanın arasında bu yararın da dokunuyor ya foruma kendimden utandım :)

boş kaldığımda yazıyorum işte bir hayrım dokunsun öğrencilere çok zor olmamasına rağmen öğrencilerin sıkıntı çektiği bir konu geometrik yorum

Bir de bu tür konular açtıktan sonra bana haber verirsen çok sevinirim.
Bunları arşive ekliyorum,biliyorsun.

olur aklımdan çıkıyor işte

Güzel sorular, düzgün yazı.
Eline sağlık Serkan.
LYS türevi kolaylamışsın.

Sağolun hocam beğenmenize sevindim :)