Türevin Geometrik Yorumu Soru Çözümleri
1)x<0 olmak üzere y=x²+3 parabolünün (-1,0) noktasından geçen teğetinin parabole değme noktasının apsisi kaçtır?
Çözüm
Parabol üzerinde bir x noktası alalım o zaman apsisi x ise ordinatı x²+3 olur yani noktamız (x,x²+3) sonra iki noktası bilinen doğru denkleminden eğimini buluruz buda (x²+3)/(x+1) e eşittir aynı zamanda teğetin eğimi fonksiyonun birinci türevine eşittir. Buradan (x²+3)/(x+1)=2x
2x²+2x=x²+3 buradan x=1 ve x=-3 gelir
2)f(x)=x³+mx²+2m+1
eğrisinin x=-1 deki teğeti y=3-x doğrusuna paralel olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm
doğruyla teğet paralel ise eğimleri eşittir. doğrunun eğimi -1 dir. O zaman fonksiyonun türevini aldığımızda f'(x)=3x²+2mx olur x=-1 yazarsak 3-2m=-1 m=2 dir
3)y=x³-6x²-2x-7 eğrisin x eksenine paralel teğetlerinin değme noktalarının apsislerinin toplamı kaçtır?
Çözüm
x eksenine paralel ise eğimleri 0 demektir
türevini alıp sıfıra eşitlersek
3x²-12x-2=0 denklemi gelir değme noktalarının apsisleri toplamını bulmak bu denklemin kökler toplamını bulmak demektir -(-12)/3=4 tür
4)y=x³-x+1 eğrisinin x=1 noktasındaki teğeti eğriyi başka bir noktada daha kesiyor ise bu noktanın ordinatı kaçtır?
Çözüm
öncelikle teğetin hangi noktadan geçtiğini bulalım x=1 için y=1 çıkar yani (1,1) noktasından geçiyormuş. şimdide parabol üzerinde bir x noktası alırsak ordinatı x³-x+1 olur diğer noktam (x,x³-x+1) dir iki noktası bilinen doğru denkleminden (x³-x)/(x+1) olur fonksiyonun türevini alıp 1 yazarsak da yine teğetin eğimini bulmuş oluruz buna göre (x³-x)/(x+1)=2 x³-3x+2=0=(x-1)(x²+x-2)=(x-1)²(x+2) x=1 V x=-2 x=-2 için ordinat -5 gelir
5)y=x³-3x²+5 eğrisinin dönüm noktasındaki teğetinin eğimi nedir?
Çözüm
fonksiyonun ikinci türevinin kökü dönüm noktasını verir. buna göre ikinci türevi 6x-6 dır bunu sıfıra eşitlersek 6x-6=0 x=1 fonksiyonun birinci türevi teğetin eğimini verir. 3x²-6x de x yerine 1 yazarsak istenen eğimi buluruz x=1 için -3 gelir
6)y=2x²+k parabolünün x=a daki normalinin denklemi y=1/2x+1 olduğuna göre a+k kaçtır?
Çözüm
Öncelikle a değerini bulmaya çalışalım fonksiyonun türevi 4x tir x=a için eğimi 4a dır ancak bize normalin eğimi lazım mt.mn=-1 olduğundan mn=-1/4a dır aynı zamanda x=a noktasında (a,2a²+k) olur.Şimdi de eğimi ve bir noktası bilinen doğru denkleminden
y-(2a²+k)=-1/4a(x-a)
ifadeyi toparlarsak y=9a²/4-k-ax/4
-ax/4=1/2x
a=-2
9-k=1 k=8
çıkar işlem hatası yapmadıysak :D
7)f(x)=x²+2x-3 parabolü ile y=x-5 doğrusu arasındaki en kısa uzaklık kaçtır?
Çözüm
parabolle doğrunun durumlarını inceleyelim x²+2x-3=x-5 x²+x+2=0 delta küçük 0 olduğundan parabol ile doğru birbirlerini kesmezler. o zaman elimde öyle bir doğru olmalıki parabole teğet diğer doğruyada paralel olmalıdır bu iki doğru arasındaki uzaklık bize en kısa uzaklığı verecektir.
şimdi parabol üzerinde bir değme noktası alalım (t,t²+2t-3) fonksiyonun türevini alalım 2x+2 f'(t) bize eğimi verecektir eğim 2t+2 dir y=x-5 doğrusunun eğimide 1 dir seçtiğim doğru paralel olduğundan eğimleri birbirine eşit olmalıdır. 2t+2=1 t=-1/2 t=-1/2 yazarsam y=-15/4 gelir aradığım noktan (-1/2,-15/4) tür sonra noktanın doğruya uzaklığı formülünden
|-15/4-(-1/2)+5|/√2=7√2/8 gelir
