Basit Eşitsizlikler Çözümlü Sorular
1)-2<x<5
-3<y<4 olmak üzere
a)2x+3y nin En büyük değeri nedir?
x,y∈Z ise2x+3y nin en büyük değeri nedir?
Çözüm
a)
herhangi bir şart vermediğinden dolayı işlemimizi reel sayılarda yapıyoruz
2/-2<x<5
3/-3<y<4
-13<3x+4y<22
buradan en büyük değer 21 olur
b)
x,y∈Z dediği için
x=4 y=3 için en büyük değeri almış olur buradan
2.4+3.3=17
2)
-4<x<8
-1<y<2
için (x.y)/(x+y) ifadesinin en büyük değeri nedir?
Çözüm 2)
Burada önemli olan (x.y)/(x+y) nin 1/(1/x+1/y) ifadesine eşit olduğunu görmektir.
buna göre
-1/4<1/x<1/8
-1<1/y<1/2
--------------------
-5/4<1/x+1/y<5/8
-4/5<1/(1/x+1/y)<8/5
buradan x.y/(x+y) ifadesinin en büyük değeri 1 gelir.
3)
-2<x<4
-1<y<3
ise x.y hangi arlıktadır?
Çözüm 3)
ilk önce x.y nin labileceği değerleri bulalım
-2.-1,4.3,-2.3,-1.4 bu ifadenin alabileceği değerlerdir. Buradan negatiflerin en küçüğünü pozitiflerin en büyüğünü alırız
Buna göre;
-6<x.y<12 arlığı istediğimiz aralıktır.
4)
-8≤16/(x-2)≤-4 olduğuna göre x kaç farklı değer alır?
Çözüm 4)
ifadeyi takla attıralım takla attırdığımızda ifadenin yönüde değişecektir.
-1/4≤(x-2)/16≤-1/8 olur ifademiz
eşitsizliği 16 ile çarparsak
16/-1/4≤(x-2)/16≤-1/8
-4≤(x-2)≤-2
-2≤x≤0
buradan x in değerleri -2,-1,0 olmak üzere 3 tanedir.
5)
a-b+3c<17
a-b+c>5 olduğuna göre 6.c ifadesinin en büyük değeri nedir?
Çözüm 5)
soruda görüldüğü gibi üst eşitsizlikte < işareti varken alt eşitsizlikte > işareti var o zaman işaretleri aynı yapmak için alttaki denklemi -1 ile çarpalım
a-b+3c<17
-1/a-b+c>5
a-b+3c<17
-a+b-c<-5
-------------------
2c<12
c<6 burada zaten bize 6c nin en büyük değerini soruyor direk c direk 5 diyelim deyip sazan avına düşmeyeceğiz
6/c<6
6c<36
6c nin en büyük değeri 35 dir.
6)-2<a<3 ve -3<b<1 olduğuna göre
ab+b ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm 6)
ikinci eşitsizlikte her tarafa bir eklersek
-2<b+1<2 ifadesi gelir ilk eşitsizlikle yeni eşitsizliğimizi taraf tarafa çarparsak istediğimiz sonucu elde ederiz.
-2<a<3
-2<b+1<2
------------------
buradan 4,-6,4 ve 6 değerleri gelecektir. o zaman aralığımız
-6<ab+a<6 buradan en küçük değer -5 gelir.
7) -2<x<5 olduğuna göre x²-2x+3 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm 7)
x²-2x+3 ifadesini tam kare yapmaya çalışalım ifadeye 2 çıkarıp 2 eklersek ifade tam kare olur
x²-2x+3-2+2
(x-2)²+2
eşitsizliğimize geri dönelim
-2<x<5 bu eşitsizlikten bilateral olarak 1 çıkaralım
-3<x-1<4 olur şimdi her iki tarafın karesini alalım
0≤(x-1)²<16 şimdide bilateral olarak 2 eklersek
2<(x-1)²+2<18
buradan en büyük değer 17 gelir
8)
a,b,c negatif reel sayılardır.
1/ab+1/bc+1/ac=4
(a+b+c)²≤-90.a.b.c
olduğuna göre a.b.c çarpımının en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm 8)
payda eşitlemesi yaparsak
(a+b+c)/(a.b.c)=4 olur buradan (a+b+c)=4.a.b.c olur
alttaki eşitsizlikte (a+b+c) yerine 4.a.b.c yazarsak
(4.a.b.c)²≤-90.a.b.c olur
16.a².b².c²≤-90.a.b.c olur
eşitsizliği a.b.c ile sadeleştirirsek eşitsizlik yön değiştirir(a,b,c negatif olduğundan)
16.a.b.c≥-90
a.b.c≥-90/16 buradan a.b.c nin en büyük değeri -5 gelir
