Doğal sayılar-Tam sayılar 2
1)996.1006 çarpımının tam kare olması için eklenmesi gereken en küçük doğal sayı nedir?
Çözüm:
996.1006=(1001-5)(1001+5)=1001²-5²
Tam kare yapmak için en az 5²=25 eklemeliyiz.
2)
27=9.3
207=9.23
2007=9.223
20007=9.2223
Yukarıdaki örüntüye göre aşağıdakilerden hangisi 81'e bölünür?
A)200007
B)20000007
C)2000000007
D)200000000007
E)20000000000007
Çözüm:
20...07=9x2...23 şeklindedir. 0'ların sayısı 2'lerin sayısına eşittir.
9x2...23 sayısının 81'e bölünmesi için 2...23 sayısı 9'a bölünmelidir.
0'ların ve 2'lerin sayısı n olsa 2...23 sayısının rakamları toplamı 2n+3 9'a bölünmelidir.
A)n=4 olduğu için 2n+3=11 9'a bölünmez.
B)n=6 olduğu için 2n+3=15 9'a bölünmez.
C)n=8 olduğu için 2n+3=19 9'a bölünmez.
D)n=10 olduğu için 2n+3=23 9'a bölünmez.
E)n=12 olduğu için 2n+13=27 9'a bölünür.
3)x ve y tam sayılar olmak üzere 1'den 2011'e kadar sayılardan kaçı (x-y)(x+y) şeklinde yazılamaz ?
Çözüm:
(x-y)(x+y)=x²-y² olduğunu biliyoruz.
Bir tam sayının karesinin 4'e bölümünden kalanın 0 ya da 1 olduğunu biliyoruz.
(Önce sayı tek olsun sonra da çift olsun diyerek ispatlayabilirsiniz.)
Bu durumda x²-y²'nin 4'e bölümünden kalanlar
0-0=0
1-0=1
0-1=-1 (Yani 3)
1-1=0
olabilir. 4'e bölününce 2 kalanını veren sayıların olmadığını görüyoruz.
2,6,...,2010 yani 503 adet sayı.
4)n tane ardışık tam sayının toplamı 525 ise n 3,4,5,6,7 değerlerinden hangisini alamaz?
Çözüm:
Ardışık üç tam sayının toplamı: x+(x+1)+(x+2)=3x+3=525 ,x=174 bulunur.
Ardışık dört tam sayının toplamı: x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6=525 fakat x tam sayı olmaz.
5,6,7 olabildiği basitçe gösterilebilir.
NOT:Ardışık n tam sayının toplamı x ise 2x n'e bölünmelidir.
5)100'den küçük doğal sayıların kaç tanesinin karesinin onlar basamağı tektir ?
Çözüm:
Güzel bir soru
Bir doğal sayının birler basamağı b ise 10a+b şeklinde yazılabilir.
(10a+b)²=100a²+20ab+b²
100a² sayısı onlar basamağını etkilemez.
20ab sayısı 20'ye bölündüğünden onlar basamağı çifttir.
b²'nin onlar basamağı tek olmalıdır. Karesinin birler basamağı tek olan rakamlar 4 ve 6'dır.
Yani sayının birler basamağı 4 ya da 6 olmalıdır. 14,16,24,26,....94,96 yani 20 adettir.
6)3n-10 ve 5n-13 tamsayılarının ikisini de asal yapan kaç n tamsayısı vardır?
Çözüm:
(3n-10)+(5n-13)=8n-23(tek sayı)
Toplamı tek sayı olan sayılardan biri çift diğeri tektir.
Çift asal sayı olarak bir tek 2 vardır.
3n-10=2 , n=4 , 5n-13=7(asal)
5n-13=2 , n=3 , 3n-10=-1(asal değil)
Sadece 4 istenen şartı sağlar.
3 tane sayının asal olması istenseydi yine bu sayıları toplayacaktık.
Sonuç çift sayı ise üçü birden tek sayı olamaz diyip biri 2 olmalı diyecektik.
7)abc,ab,a onluk tabanda sayılardır.
abc.ab.a=2002 ise a+b+c'nin değeri nedir?
Çözüm:
2002=2.7.11.13 olduğundan a sayısı 1,2 ya da 7 olabilir.
a=2 durumunda 2bc.2b=1001 sağlanmayacağı açıktır.
a=7 durumunda 7bc.7b=286 sağlanmayacağı açıktır.
a=1 olmalıdır. abc.ab=2.11.13.7 olur.
ab iki basamaklı sayısı 11,13 veya 14 olabilir.
ab=11 ve ab=13 durumu denenirse sağlanmaycağı gözükür. ab=14 durumu sağlar.
ab+c=1+4+3=8 olmalıdır.
8)13!+1<p<13!+14 şartını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?
Çözüm:
13! 2'ye bölündüğünden 13!+2 2'ye
13! 3'e bölündüğünden 13!+3 3'e
.
.
13! 13'e bölündüğünden 13!+13 13'e
bölünür. Yani bu aralıkta hiç asal yoktur.
Genellersek (n!+1,n!+n] aralığında hiç asal yoktur.
9)n,m tam sayıları 720n=m³ şartını sağlıyorsa n en az kaçtır?
Çözüm:
720=2⁴.3².5¹ 'dir.
m'in çarpanlara ayrılışında tüm kuvvetler 3'ün katı olmalı.
2⁴.3².5¹ sayısında 4,2 ve 1 kuvvetlerini 3'ün katına tamamlamak için en az 2².3.5²=300 ile çarpmalıyız.
Yani n en az 300'dür.
10)a asal sayı olmak üzere 2⁴.3⁵.a² sayısının asal olmayan tam bölenleri toplamı -12 ise a kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının tam bölenleri toplamı 0'dır.
0'dan asal bölenler toplamını çıkardığımızda -12 kalıyorsa asal bölenler toplamı 12'dir.
2+3+a=12, a=7
11)obeb(a,b)=6 ve a+b=30 ise a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
a=6x ve b=6y olmalı (x,y aralarında asal)
6x+6y=30
x+y=5 bulunur.
x=1,2,3,4 olabilir.
a'nın alabileceği değerler toplamı 6.1+6.2+6.3+6.4=60 bulunur.
12)4 ve 5 sayılarına bölündüğünde 3 kalanını veren ve 7 ile bölünebilen en küçük doğal sayı kaçtır?
Çözüm:
ekok(4,5)=20 olduğundan 4 ve 5 ile bölündüğünde 3 kalanını veren sayılar
3,23,43,63,...
Şeklinde gider ve bu sayılardan 7 ile bölünebilen en küçük sayı 63'dür.
13)5⁴-1 sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır?
Çözüm:
5⁴-1=25²-1=24.26=2³.3.2.13=2⁴.13¹.3¹
(4+1)(1+1)(1+1)=20 bulunur.
