Doğal sayılar-Tam sayılar 1

1)x,y tam sayılar -3<x<7 ve -4<y<3 ise x²-y² en çok kaçtır?

Çözüm:
x²-y² en büyük değeri alması için x² en büyük değerini y² en küçük değerini almalıdır.
x²'nin en büyük değeri x=6 iken 36'dır. y²'nin de en küçük değeri de 0'dır (tam kare negatif olamaz.)
öyleyse x²-y² en çok 36-0=36'dır.

2) a,b,c tam sayıları için
a.b=48
b.c=32
a.c=24
olduğuna göre c'nin pozitif değeri nedir?

Çözüm:
48=2⁴.3 , 32=2⁵, 24=2³.3'tür. Denklemleri çarparsak
(abc)²=2¹².3²
abc=±2⁶.3
ab=2⁴.3 olduğundan c=±2² bulunur. Pozitif değer istendiğinden cevap 4.

3) x,y doğal sayıları için x²-y²=17 ise 2x-y'nin değeri kaçtır?

Çözüm:
İki kare farkı uygularsak (x-y)(x+y)=17
17 asal olduğundan x-y ve x+y 'den biri 1 olmalıdır.
x+y 1 olamayacağından x-y=1, x+y=17
Toplarsak 2x=18 yani x=9 bulunur. Bu durumda y=8 olur.
2x-y=2.9-8=10

4)a,b doğal sayıları için 3a+5b=27 ise a'nın alabileceği değerler toplamı nedir?

Çözüm:
3a ile 27 3'e bölündüğünden 5b 3'e bölünmelidir yani b 3'ün katı olmalıdır.
b=0 için a=9
b=3 için a=4
b=6 ve sonrası için a negatiftir.
a'nın alabileceği değerler toplamı 9+4=13'tür.

5)x ve y pozitif tam sayıları için xy-4y=10-x ise y'nin alabileceği değerler toplamı nedir?

Çözüm:
xy-4y+x=10
y(x-4)+x=10
Böyle sorularda çarpanlara ayırmaya çalışmalıyız. Çarpanlara ayırmak için 4 çıkaralım.
(y+1)(x-4)=6, 6'nın çarpanları 1,2,3,6 olduğundan
y+1=1 ve x-4=6 (y pozitif olmaz)
y+1=2 ve x-4=3 y=1 bulunur.
y+1=3 ve x-4=2 y=2 bulunur.
y+1=6 ve x-4=1 y=5 bulunur.
y'nin alabileceği değerler toplamı 1+2+5=8

6)Rakamları toplamı 61 olan bir doğal sayı en az kaç basamaklıdır?

Çözüm:
En az basamak için en çok sayıda 9 kullanmalıyız.
9999997 sayısı 7 basamaklıdır.

7) (x+20)+(x+21)+....+(x+100) toplamını tam kare yapan en küçük x doğal sayısı kaçtır?

Çözüm:
(x+20)+(x+21)+....+(x+100)=81x+(20+21+...+100)
20+21+...+100=(1+2+...+100)-(1+2+....+19)=5050-190=4860
81x+4860=81(x+60) sayısının tam kare olması isteniyor.
81 tam kare olduğundan x+60 tam kare olmalı yani x en az 4'tür.

8) Hem 2 hem de 3 ardışık doğal sayının toplamı olarak yazılabilen 100'den küçük kaç doğal sayı vardır?

Çözüm:
2 ardışık sayının toplamı: x+x+1=2x+1
3 ardışık sayının toplamı: x+x+1+x+2=3x+3
Hem tek sayı olup hem 3'e bölünen sayıları arıyoruz.
Bu sayılar mod6'da 3 kalanını veren sayılardır. 3,9,...,99 yani 17 adettir.

9)Birden çok ardışık pozitif tam sayının toplamı olarak yazılamayan 1000'den küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

Çözüm:
x sayısı (a+1) , (a+2) ,... (a+n) sayılarının toplamı olsun.
x=(a+1)+(a+2)+...+(a+n)=a.n+n(n+1)/2
2x=2an+n(n+1)=n(2a+n+1)
n tek ise 2a+n+1 çift , n çift ise 2a+n+1 tektir.
Yani 2x'in tek böleni olmalıdır. 2x'in böyle bir sayı olmasını istemiyoruz.
2x'in tek böleni yoksa 2x 2'nin kuvveti olmalıdır. Yani x 2'nin kuvvetidir.
1000'den küçük 2'nin kuvvetleri 2⁰,2¹,...,2⁹ 10 adettir.

10) a,b,c,d,e birbirinden farklı tam sayıları (6-a)(6-b)(6-c)(6-d)(6-e)=45 şartını sağlıyor ise a+b+c+d+e kaçtır?

Çözüm:
45=5.3.3 'tür. 5 tam sayının çarpımı olarak yazmamız gerektiğinden 45=5.3.3.1.1 'dir. Birbiri ile aynı tam sayı olmaması gerekiyor fakat iki tane 3 iki tane 1 var. Bu sorunu 3'lerden birinin başına - ve 1'lerden birinin başına - koyarak giderebiliriz.
45=5.3.(-3).1.(-1)
6-a=5 , a=1
6-b=3 , b=3
6-c=-3 , c=9
6-d=1 , d=5
6-e=-1 , e=7

a+b+c+d+e=1+3+9+5+7=25