Binom açılımı soruları çözümleri

1)(x²+x^-3)¹⁰
açılımının sabit terimi nedir?

Çözüm 1)

Sabit terim k.x⁰'lı terimdir. Buna göre işlemimizi yapacağız.

C(10,r).(x²)^10-r.(x^-3)^r=k.x⁰

20-2r-3r=0

r=4

sonucumuz C(10,4).x¹².x^-12 dir

2)(x+y)ⁿ açılımında baştan 3.terimin katsayısı 36 ise n nedir?

Çözüm 2)

r+1 =3

r=2

C(n,2)=36

n(n-1)/2=36

n=9

3) (2x²-3y)⁷ ifadesinde sondan 4.terim nedir?

bu ifadede toplam 7+1=8

sondan 4 terim geriye gelirsek

8 7 6 5

baştan 5.terimi bulalım

r+1=5 r=4

C(7,4)(2x²)³.(-3y)⁴

=22680.x⁶.y⁴

4)(∜3+√3)⁶ ifadesinin açılımındaki rasyonel terimler nedir?

Çözüm 4)

C(6,r)(3^1/4)^(6-r).(3^1/2)^r

C(6,r).3^(6+r)/4

(6+r)/4 ün tam sayı olması için sayılar verceğiz ancak bu sayılar 6 yı geçmeyecek

2 ve 6 bu şartı sağlar

C(6,2).3.3=15.9=135

C(6,0).3⁰.3³=27 aradığımız terimlerdir.

5)(x-2y-z)⁹ açılımındaki terimlerden biri Ax.y².z⁵ ise A nedir?

Çözüm 5)

Pratik yol:
örnek verirsek

(x+2y+3z)ⁿ açılımında A.x^a.y^b.z^c li terim
x^a.2y^b.3z^c.n!/(a!.b!.c!) dir

pratik yola göre çözersek

A=1¹.(-2)³.(-1)⁵.9!/(1!.3!.5!) olarak buluruz

6)(a²-b+2c-3d²)¹¹ açılımında içinde a⁴.b² çarpanı olup başka a ve b çarpanı olmayan kaç terim vardır?

Çözüm 6)

gruplandırarak çözelim

C(11,r).(a²-b)^(11-r).(2c-3d²)^r

a⁴.b² li terimi elde etmek için (11-r)=4 olması lazım o zaman

r=7

r nin 7 olduğunu biliyoruz o zaman a ve b ye dahil omayan terimlerin sayısı aradığımız terim sayısı olacaktır yani;

(2c-3d²)⁷ ifadesinin terim sayısı lazım o da 7+1=8 dir

7)(x+2)⁵.(x-y)⁸ ifadesinin açılımındaki terimler A.xⁿ.y^m olacak şekilde dzelendiğinde kaç terim oluşur?

Çözüm 7)

iki ifadenin terim sayılarının çarpımı bize kaç terim oluşacağını verecektir

(x+2)⁵ ifadesinde 5+1=6 terim vardır

(x-y)⁸ ifadesinde 8+1=9 terim vardır 9.6=54 terim oluşur

8)(x-2y+z)⁵ açılımında y'li terimlerin kat sayılar toplamı kaçtır?

Çözüm 8)
C(5,r)(x+z)^(5-r).(-2y)^r

y li olmayan yerimlerle y li olmayan terimleri çarptığımızda y li olmayan terimlerin katsayısı ize y li terimlerin kat sayısını vercektir bu yüzden;
r=1 seçeceğiz

C(5,1).(x+z)⁴.(-2y)

x ve z yerine kat sayılar toplamını bulmak için 1 yazalım

5.16.-2.y

=-160y

9)(x-x^-2) açılımında 1.terimin katsayısı 3.terimin katsayısından 20 eksik ie n kaçtır?

Çözüm 9)

r+1=1

r=0

C(n,0)=1 bize 1.terimin katsaysısını verir

r+1=3 r=2

C(n,2)=n(n-1)/2 bize 3.terimin kat saysını verir

20+1=21=n(n-1)/2

n(n-1)=42

n=7

10)
(2x+y/2)⁶ ifadesinin açılımında ortadaki terim nedir?

Çözüm 10)

Pratik yol:
(x+y)²ⁿ açılımında ortadaki terim

C(2n,n).xⁿ.yⁿ dir

Bu yola göre sorumuzu çözelim

C(6,3).2x³.(y/2)³

20.8x³.y³/8

=20x³.y³