Karmaşık Köklü Denklemler Soruları Çözümleri
Soru 1
Dördüncü dereceden rasyonel katsayılı bir denklemin iki kökü 1-i ve 4-3i ise diğer iki kökün çarpımı kaçtır?
Çözüm 1
Rasyonel katsayılı denklemlerde karmaşık kökler varsa, eşlenikleri de köktür.
Bu bilgiden yola çıkarak diğer köklerin 1+i ve 4+3i olduğunu söyleyebiliriz.
Bulduğumuz köklerin çarpımı, (1+i).(4+3i)=4+3i+4i+3i²=4+7i-3
=1+7i
---------------------------------------------
Soru 2
x²+36=0 denklemini sağlayan x değerlerinin 2 şer fazlasını kök kabul eden ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözüm 2
x²+36=0 denkleminin kökleri 6i ve -6i olacaktır. İkişer fazlalarını alırsak kökler 2+6i ve 2-6i olmalıdır.
İkinci dereceden denklemlerde kökler çarpımı sabit terimi verir,
(2+6i).(2-6i)=40
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamının negatifi x'li terimin katsayısıdır.
(2+6i)+(2-6i)=4
x'in katsayısı -4 olacaktır.
Denklemimiz x²-4x+40=0 olacaktır.
--------------------------------------------
Soru 3
x²-mx+n+2=0 reel katsayılı ikinci dereceden denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.
Re(x₁)=3 ve Im(x₂)=-2 olduğuna göre m+n kaçtır?
Çözüm 3
Reel katsayılı olduğundan köklerin reel kısımları eşit, imajiner kısımları da ters işaretli olmalıdır.
Bu durumda köklerden biri 3+2i diğeri 3-2i olur.
Şimdi denklemi yazabiliriz.
x'in katsayısı -m, negatifi kökler toplamına eşit olacaktır, -(-m)=3+2i+3-2i
m=6 bulunur.
Kökler çarpımı n+2'ye eşittir.
(3+2i).(3-2i)=n+2
13=n+2
n=11
m+n=17 bulunur.
------------------------------------------
Soru 4
ax²-(b-3+2i)x+10=0 ikinci dereceden denkleminin kökler toplamı -i/2 olduğuna göre a+b kaçtır?
Çözüm 4
İkinci dereceden denklemlerin kökler toplamı formülünden, kökler toplamı (b-3+2i)/a olacaktır.
(b-3+2i)/a=-i/2
2b-6+4i=-ai
2b-6=-ai-4i
2b-6=0
b=3
-ai-4i=0
ai=-4i
a=-4
a+b=1 bulunur.
-------------------------------------------
Soru 5
x²-3ax+b+3i=0 denkleminin köklerinden birisi i olduğuna göre, diğer kök nedir?
Çözüm 5
Verilen kökü denklemde yerine yazarsak,
i²-3ai+b+3i=0
-1-3ai+b+3i=0
-1+b=0
b=1
-3ai+3i=0
a=1 bulunur.
Denklemi yeniden yazalım,
x²-3x+1+3i=0
Diğer kök t olsun.
Kökler toplamını yazalım,
3=i+t
t=3-i bulunur.
