Karmaşık Sayılarda Dört İşlem Soruları Çözümleri

Soru 1

(2−3i)(2+3i)+(4+5i)(4−5i) toplamı kaça eşittir?

Çözüm 1

Çarpım durumundaki ifadeler birbirinin eşleniği olduğundan çarpım yapmak kolay olacaktır.

(2−3i)(2+3i)=4-9i²
(4+5i)(4−5i)=16-25i²
+____________
(2−3i)(2+3i)+(4+5i)(4−5i)=20-34i²

i² yerine -1 yazarsak,
20-(-34)=20+34=64 olacaktır.

_______________________________

Soru 2

z = 12–5i
olduğuna göre z.z çarpımı kaçtır?

Çözüm 2

z karmaşık sayısı ile eşleniği olan z in çarpımı isteniyor.

Eşleniğini alırsak, z=12+5i olacaktır.

Sayıları çarpalım, z.z=(12-5i)+(12+5i)=144-25i²=144+25=169 olacaktır.

_________________________________

Soru 3

(2-i)
(2+i)

ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm 3

Paydayı reel hale getirmek için kesri paydanın eşleniği ile genişletelim,

(2-i).(2-i)
(2+i).(2-i)
=
4-4i-1
4-i²
=
4-4i-1
4+1
=
3-4i
5

_____________________________

Soru 4

(1+i)⁵+(1-i)⁵ toplamının değeri kaçtır?

Çözüm 4

((1+i)²)².(1+i)+((1-i)²)².(1-i) şeklinde yazalım.

(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i
(1-i)²=1-2i+i²=1-2i-1=-2i

olduğundan bu ifadeleri yerine yazalım,

(2i)².(1+i)+(-2i)².(1-i)
4i²(1+i)+4i²(1-i)

4i² parantezine alırsak,

4i²(1+i+1-i)=4i².2
8i²=8.(-1)=-8

_______________________________

Soru 5

i^-50+i^-49+......+i^-1 ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm 5

i^-50 parantezine alalım,

i^-50(1+i+i²+...+i⁴⁸+i⁴⁹) şeklinde yazılır.

i=√-1
i²=-1
i³=-√-1
i⁴=1
__________
i⁵=√-1

Görüldüğü gibi 4. kuvvetten sonra tekrar ediyor. Öyleyse (mod 4) ile işlem yaparak üsleri düzenleyebiliriz.

Aynı zamanda i+i²+i³+i⁴ toplamının 0'a eşit olduğunu görüyoruz.
Öyleyse bizim elimizdeki toplamda da i'den başlayarak her 4'lü grup 0'a eşittir.
i+i²+...+i⁴⁸ toplamının 0'a eşit olduğunu söyleyebiliriz.
Yerine yazarsak,

i^-50(1+0+i⁴⁹)

(mod 4) içinde işlem yaptığımızdan i^-50 yerine i², i⁴⁹ yerine de i yazabiliriz.

i².i³=(-1).(1+i)=-1-i olacaktır.