Temel Kavramlar Soruları Çözümleri (10 adet)
Uzun süredir bu soruları sizlerle paylaşmak istiyordum, soruları biriktirip daha çok güzel soru
olabilmesi için biraz bekledim.YGS ye hazırlanan arkadaşlar mutlaka bu soruları incelemeli.
SORU 1:
x ve y pozitif tam sayılardır.
xy+x+y=54
olduğuna göre, x²+y² toplamı kaçtır ?
ÇÖZÜM 1:
xy+x+y=54 eşitliğinde her iki tarafa 1 ekleyelim.
xy+x+y+1=55 daha sonra bazı ifadeleri x parantezine alalım.
x(y+1)+(y+1)=55 şimdi de (y+1) parantezine alalım.
(y+1).(x+1)=55
y+1=11
x+1=5 olabilir.
y=10 veya x=4 olabilir.
Soru bize x²+y² ifadesini sormuştu, x²+y²=100+16=116 bulunur.
-------------------------------------------------------------------------------
SORU 2:
ab iki basamaklı bir sayıdır.
ab=a²+3b eşitliğini sağlayan kaç farklı (ab) sayısı yazılabilir ?
ÇÖZÜM 2:
ab=a²+3b sayısını çözümleyelim.
10a+b=a²+3b
10a=a²+2b oldu buradan sonra değer vereceğiz.
a=2 için b=8
a=8 için b=8
sayıları şartını sağlar 2 tane (a,b) ikilisi vardır.
--------------------------------------------------------------------------
SORU 3:
sayısı bir doğal sayı ise kaç farklı x tam sayısı vardır ?
ÇÖZÜM 3:
ifadesinde paya 10 ekleyip çıkaralım
10 un 2.2.2=8 tane böleni vardır ama bölenler 1 ve 2 olduğunda 2-10/bölen negatif olacağından tamsayı olmaz sonuçta 8-2=6 tane x+5 ve dolayısıyla 6 tane x için bu ifade doğal sayı olur.
----------------------------------------------------------
SORU 4:
7'nin katı olan ardışık 7 tamsayının toplamı T'dir. Bu sayılardan en büyüğünün T cinsinden değeri nedir ?
ÇÖZÜM 4:
Bu soruda daha kısa bir yol paylaşacağım:
Ortadaki sayıyı belirleyelim öncelikle, Bu sayı 7'nin katı olması için 7n olsun.
1 tanesi 7n ise geriye 6 tane sayı kaldı. Bu sayılardan 3 tanesi 7n den küçük,3 tanesi 7n den büyüktür bunu da şekil ile gösterelim. Artış ve azalış 7 olduğundan 3 sayı ilerisinde 7n sayısına 21 eklenir. Azalış için de aynı mantıkla, 21 azaltılır, yani şöyle;
3 adet 3 adet
|---------|--------|
7n-21 7n 7n+21
Şimdi bu aralıktaki sayıları topladığımızda, + ifadeler - leri goturur.
Toplam 7n.7=49n olur soruda bu toplamın T olduğu söylenmiş.
49n=T soruda en büyük ifade yani 7n+21 sorulmuş
7n+21=(T/7)+21 bulunur.
---------------------------------------------------------------------------
SORU 5:
Ardışık 12 çift sayının toplamı 60 ise, bu sayılardan en büyüğü nedir ?
ÇÖZÜM 5:
Bu soruda bir üsteki soruyla benzer, burada kafanıza takılan soru şu olacaktır.
12 sayı vardı ortadaki sayıyı seçelim bu n olsun, geriye 11 sayı kaldı bunu nasıl 2'ye böleceğim diyenler olabilir. Burada azalan tarafa daha az sayı veriyoruz yani 5 tane azalan tarafa, artan tarafa ise 6 tane. Artış ve azalış 2 nin katlarıyla olmalı.
5 adet 6 adet
|---------|--------|
n-10 n n+12
Toplamı : 12n+12=60 ise n=4 en büyüğü n+4=16 olur.
-------------------------------------------------------------------------
SORU 6:
a ve b asal sayılardır.
a.b=x!
olduğuna göre, a!+b!+x! toplamı kaçtır ?
ÇÖZÜM 6:
a ve b asal sayılarsa ve x!'e eşitse ardışık iki sayı olabilir, a=2 ve b=3 için x! şartı sağlandığı için 2.3=x! ise
a!+b!+x!=2+6+6=14 bulunur.
--------------------------------------------------------------------------
SORU 7:
A=77773
B=22222
olduğuna gore, (A+B)² sayisinin rakamlari toplami kaçtır?
ÇÖZÜM 7:
A+B=99995 olur, bu sayıyı (100000-5)² şeklinde yazabiliriz.
(106-5)²=1012-2.5.106+25
=1012-107+25
=(10⁵-1).107+25
=9999.107+25 rakamları toplamı: 4.9+2+5=43 bulunur.
Not: Bu soruyu daha önce sormuştum, çözüm Sayın gereksizyorumcuya ait.
------------------------------------------------------------------------
SORU 8:
x ve y , 3'ten büyük pozitif tamsayılardır.
(2,4).(x-2)=(y-3)² olduğuna göre,
x+y nin en küçük değeri kaçtır ?
ÇÖZÜM 8:
24/10 sayısını öyle bir sayı ile çarpalım ki, bir tam sayıya (y-3)²'e eşit olsun.
24/10=12/5'tir. Burada x-2 sayısı 5'in bir katı olmalı, aynı zamanda eşitliğin sol tarafı tam kare bir sayı olmalı x-2=15 dersek 36=(y-3)² olur. Buradan y-3=6 , y=9
min(x+y)=9+17=26 bulunur.
-------------------------------------------------------------------
SORU 9:
3+5+7+9+..+2n-1=A
toplamında her terim 2 azalırsa, toplam ne kadar azalır ?
ÇÖZÜM 9:
Tek sayıların toplam formulü son terim 2n-1 olmak üzere n² dir. Burada 1 olsaydı n² derdik o halde bu toplamı elde etmek için n²-1 ifadesini kullanabiliriz.
Her sayıyı 2 azaltırsak, 1+3+5+..2n-3 olur. Burada da son terimin 2n-1 olmalı bu olmadığından bunu çıkarırsak, toplamı n²-(2n-1) şeklinde yazabiliriz.
n²-1=A
n²-(2n-1)=B olsun
A-B=2n-2 bulunur.
---------------------------------------------------------------------
SORU 10:
Hiçbiri 9 dan küçük olmayan, 6 pozitif tamsayının toplamı 194'tür. Bu sayılardan ikisi 75'ten büyükse, en büyük sayı en çok kaçtır ?
ÇÖZÜM 10
Hiçbiri 9 dan küçük değilse, 4 sayıyı 9 seçebiliriz, ikisi 75 den büyükse biri 76 olsun, diğeri x olsun.
75+x+4.9=194 ise x=82 bulunur.
