Toplam Sembolü Çözümlü Sorular (10 adet)

SORU 1:

i²=-1 olmak üzere,

1002

∑

k=1

i^k toplamının sonucu nedir ?

ÇÖZÜM 1:

Bu toplam bize 1'den 1002'ye kadar k'ya değer verip topla demek istiyor.

bizde bunu yapalım. k=1 için i¹, k=2 için i²,k=3 için i³ olarak k=1002'ye kadar toplayacağız.

i¹+i²+i³+i⁴+...+i¹⁰⁰² karmaşık sayılardan biliyoruz ki bu toplamın sonucunu bulmak için öncelikle 1002 nin 4 ile bölümünden kalanı bulacağız kalan 2 olacağından baştan 2 tane yazarız.

i¹+i²=i-1 bulunur.
----------------------------------------------------------------------------------

SORU 2:

18

∑

k=13

2^k toplamının sonucu nedir ?

ÇÖZÜM 2:

Öncelikle toplamın bize ne anlatmak istediğini anlatalım. Bu toplam bize der ki 13'den başlayarak 18'e kadar k'ya değer ver ve topla demektir.

O halde bu toplam 2¹³+2¹⁴+...+2¹⁸ olacaktır.

Bu toplamı şu şekilde yazarsak,

2¹³(1+2+2²+2³+2⁴+2⁵)

koyu olarak yazdığım ifadenin formulunu hatırlayalım.

n

∑

k=0

r^k=1+r+r²+..+rⁿ=(1-r⁽ⁿ⁺¹⁾)/(1-r) olur. Buna göre

2¹³.[(1-2⁶)/(1-2)]

=2¹⁹-2¹³ bulunur.

-----------------------------------------------------------------------------------
SORU 3:

5

∑

k=1

(k³-k+3) toplamının sonucu nedir ?

ÇÖZÜM 3:

Toplam sembolunun parçalama özelliğini kullanarak çözelim.

5

∑

k=1

k³-

5

∑

k=1

k+

5

∑

k=1

3

Öncelikle bunları tek tek ele alalım

5

∑

k=1

k³

=[(5.6)/2]²

5

∑

k=1

k

=(5.6)/2

5

∑

k=1

3=5.3

O halde

225-15+15

=225 bulunur.

--------------------------------------------------------------------------------

SORU 4:

3x²-5x-11=0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere,

2

∑

k=1

(3x_k+7) toplamının sonucu nedir ?

ÇÖZÜM 4:

2

∑

k=1

(3x_k+7)

=3x₁+7+3x₂+7=3(x₁+x₂)+14 kökler toplamını denklemden 5/3 olarak buluruz.

3.(5/3)+14=19 bulunur.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

SORU 5:

2.5+4.8+6.11+...+14.23 ifadesini toplam sembolu ile ifade ediniz.


ÇÖZÜM 5:

toplamın her teriminin 1. çarpanı 2'nin katı olduğundan bunlara 2k diyebiilriz. Diğer ifadeler ise 3k+2 şeklinde yazılabilecek sayılardır.

o halde toplam sembolü ile ifademiz.

7

∑

k=1

(2k).(3k+2) olacaktır.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SORU 6:

17

∑

k=6

(k+2) toplamının sonucu nedir ?

ÇÖZÜM 6:

Toplam sembolünde şu özelliği hatırlatalım

n

∑

k=p

a_k=

n-r

∑

k=p-r

a_k+r olmaktadır.

Buna göre soruyu çözelim.

17

∑

k=6

(k+2)=

17-5

∑

k=6-5

(k+2+5)

=

12

∑

k=1

(k+7)

=

12.13

2

+7.12=162 bulunur.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SORU 7:

100

∑

k=1

(-1)^k.k toplamının sonucu nedir ?

ÇÖZÜM 7:

Soruda istenilen k'ya 1 den 100'e kadar değer vermemizdir.

O halde Toplam

100

∑

k=1

(-1)^k.k =-1+2-3+4-5+....+100 olacaktır.

=1+1+1+...+1 Burada 100/2=50 terim vardır.

=50 bulunur.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

SORU 8: Güzel bir soru

10

∑

k=1

[(1/k)-(1/(k+1)] toplamının sonucu nedir ?

ÇÖZÜM 8:

Öncelikle k'ya değerler verip alt alta yazalım.

k=1 için 1-

1

2

k=2 için

1

2

-

1

3

k=3 için

1

3

-

1

4

.
.
.

k=10 için

1

10

-

1

11

dikkat edilirse çapraz olarak birbirini gotüren ifadeler var.

Geriye kalan sayılar.

=1-

1

11

=

10

11

bulunur.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

SORU 9:

f(x)=x²+x+4 ise

9

∑

k=1

[f(x+1)-f(x)] toplamının sonucu nedir ?

ÇÖZÜM 9:

x=1 den x=9'a kadar değer verelim.

f(2)-f(4)

f(3)-f(2)

f(4)-f(3)
.
.
.
f(10)-f(9)

ifadeler toplandığında birbirini gotürür.

kalan ifade f(10)-f(1)=114-6=108 bulunur.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SORU 10:

2

∑

k=1

2

∑

i=1

(i+k) toplamının sonucu nedir ?

ÇÖZÜM 10:

Bu tarz sorularda en içten başlanır önce en içteki toplam yazılır.

En içteki toplam 1 den 2'ye kadar i'ye değer ver demek istiyor.

yani (1+k+2+k) olur. Bu işlemi de diğer toplam fonksiyonuna göre toplarsak

2

∑

k=1

(1+k+2+k)=3+2+3+4=12 bulunur.

Duygu çok güzel olmuş. Eline sağlık.

Saolun hocam. :)

İç içe toplam sembolü olan birkaç zor veya ilginç soruların çözümlerini de ekleyebilir misin?

Bir de 6. sorunun cevabı 162 olmalı gece gece hata mı yapıyorum diye bi 5 kere falan çözdüm :)

Ben de eklemeyi dusunuyordum. Zor ve guzel sorulardan.
Bu arada yanlis olmus olabilir sonucta kendi cozumlerim, pc ye aktarirken islem hatalari olabiliyor. Soylediginiz icin saolun.zaten son kisimda bi islem hatasi var gidis yolu dogru.