Trigonometri-Yarım Açı Soruları Çözümleri (11 adet) (orjinal sorular)
Özenle seçtiğim Orjinal Sorulardan karışık hazırladığım çözümlü sorulardır.
SORU 1:
sin84=k olmak üzere,
ifadesinin değeri k cinsinden nedir ?
ÇÖZÜM 1:
ifadenin paydasını eşitlersek;
sin3.cos9+cos3.sin9
cos3.sin3
ifadenin payı ve paydasını 2 ile çarpalım
=4cos6=4cos84=4k bulunur.
----------------------------------------------------------------------------------
SORU 2:
olduğuna göre, sin2x'in değeri kaçtır ?
ÇÖZÜM 2:
bize verilen ifadenin karesini alırsak
sin2x=2sinx.cosx olduğunu ve sin²x+cos²x=1 olduğunu biliyoruz.
---------------------------------------------------------------------------------
SORU 3:
sin75.cos75.cos150
ifadesinin değeri nedir ?
ÇÖZÜM 3:
önce ifadeyi 2 ile çarpıp bölelim.
2sin75.cos75=sin150 olduğunu biliyoruz yerine yazalım
ifadeyi tekrar 2 ile çarpıp bölüyoruz
2sin150.cos150=sin300 olduğundan
----------------------------------------------------------------------------------
SORU 4:
cos15+√3sin15
ifadesinin eşiti nedir ?
ÇÖZÜM 4:
her ifadeyi 1/2 ile çarpalım.
Burada dikkat etmemiz gereken ifadenin toplam fark açılımına benzemesidir.
Yani ifade şu şekilde yazılabilir.
sin30.cos15+cos60.sin15=sin(30+15)=sin45
----------------------------------------------------------------------------------
SORU 5:
135<x<180
ifadesinin eşiti nedir ?
ÇÖZÜM 5:
paydadaki 1 yerine sin²x+cos²x yazabiliriz. ve sin2x=2cosx.sinx aynı zamanda
cos2x=cos²x-sin²x olduğuna göre,
cos²x-sin²x
√sin²x+cos²x+2sinxcosx
(cosx-sinx).(cosx+sinx)
(cosx+sinx)²
(cosx-sinx).(cosx+sinx)
|cosx+sinx|
x'in 135 ile 180 aralığında olması sebebiyle
(cosx-sinx).(cosx+sinx)
-(cosx+sinx)
=(cosx-sinx).(-1)=-cosx+sinx bulunur.
----------------------------------------------------------------------------------
SORU 6:
ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir ?
ÇÖZÜM 6:
a³+b³=(a+b).(a²-ab+b²) özdeşliğini uygularsak
(sinx+cosx).(sin²x-sinx-cosx+cos²x)
1-(1/2).(2sinxcosx)
sin²x+cos²x=1 yazılırsa;
(sinx+cosx).(1-sinx.cosx)
(1-sinx.cosx)
=sinx+cosx
-----------------------------------------------------------------------------------
SORU 7:
sin10+sin80=m
olduğuna göre, cos70 'in m cinsinden eşiti nedir ?
ÇÖZÜM 7:
sin80=cos10 olduğundan
sin10+cos10=m ifadesinin karesini alalım
sin²10+2sin10.cos10+cos²10=m²
1+sin20=m²
m²-1=sin20=cos70 olur.
----------------------------------------------------------------------------------
SORU 8:
cosx=m olduğuna göre cos3x'in m cinsinden değeri nedir ?
ÇÖZÜM 8:
cos(3x)=cos(x+2x)=cos2x.cosx-sin2x.sinx
=(2cos²x-1).cosx-(2sinxcosx).sinx
=(2cos²x-1).cosx-(2sinxcosx).sinx
=2cosx³x-cosx-2(1-cos²x).cosx
=2cos³x-cosx-2cosx+2cos³x
=4cos³x-3cosx
=4m³-3m bulunur.
---------------------------------------------------------------------------------
SORU 9:
sin7+cos7=√a olduğuna göre cos28 ifadesinin eşiti nedir ?
ÇÖZÜM 9:
(sin7+cos7)²=a
sin²7+2sin7.cos7+cos²7=a
sin14=a-1
cos28=1-2sin²14
=1-2(a-1)²
=-2a²+4a-1 bulunur.
---------------------------------------------------------------------------------
SORU 10:
sin80=16a ise cos10.cos20.cos40. cos80 ifadesinin eşiti nedir ?
ÇÖZÜM 10:
(2sin10.cos10.cos20.cos40. cos80)/2sin10
ifade şu şekle dönüşür
(sin20.cos20.cos40.cos80)/2sin10 şimdi bu ifadeyi 2 ile çarpıp bölelim
=(2sin20.cos20.cos40.cos80)/4sin10
=(sin40.cos40.cos80)/4sin10 ifade bu şekle dönüşür şimdi tekrar 2 ile çarpıp bölelim
=2sin40.cos40.cos80/8sin10
şimdi soruda verilen ifadeyi inceleyelim
sin80=16a =2sin40.cos40
o zaman ifadede yerine yazarsak 16a.cos80/8sin10
(cos80=sin10) ise
=16a/8
=2a
--------------------------------------------------------------------------------
SORU 11:
sin⁴(pi/12)+cos⁴(pi/12) ifadesinin eşiti nedir ?
ÇÖZÜM 11:
sin⁴x+cos⁴x=(sin⁴x+2cos²x.sin²x+cos⁴x)-2sin²x.cos²x
=(sin²x+cos²x)²-2cos²x.sin²x
=1-sin2x(cosx.sinx)
=1-sin30.(cos15.sin15)
=1-1/2(cos15.sin15) (4 ile çarpıp bölersek)
(4-sin30)/4=(4-1/2)/4=7/8
Not: Son 2 soru daha önce forumda sorulmuş sorulardır.