Bileşik önermeyi sadeleştirme sorusu

Merhabalar.

Matematik 9.Sınıf kitabının 37.sayfasında bulunan 9.soruyu uğraşmama rağmen çözemedim. Matematik öğretmenim uzun süreceğinden dolayı okulda çözmedi, evde çözdükten sonra bana anlatacağını söyledi ancak 1 haftadır beklemekten sıkıldım ve yardım istiyorum.

Soru şöyle: (1 <=> q) <=> (q => r) bileşik önermesinin en sade şekli, aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1
B) q veya r
C) r' veya q
D) q ve r
E) 0

Cevabının " q ve r " olacağını cevaplardan baktım ama bu benim için önemli değil. Ben bu sorunun nasıl çözüleceğini merak ediyorum.

İlk olarak matematiğe ilginden dolayı teşekkür ederim. Birçok kişi sadece ödevini yaptırmak için soru soruyor. Soruna gelince,
İki yönlü koşullu önermelerde şu şekilde bir kural vardır;

(p<=>q) = (p=>q)^(q=>p) soruyu bu kuralı kullanarak çözmeyi dene, çözemezsen yardımcı oluyum. Kendin yapman daha iyi anlamanı sağlar :)

NOT: (p=>q) = (p' v q) bunu biliyorsundur zaten :)

1 haftadır yapamadığım soruyu buraya yazmadan önce tekrardan çözmeliyim diye düşündüm ve sonucu buldum. Yapamadığım soruyu yapabilmek inanılmaz sevindirici ama yine de sadeleştirirken yanlış yapmış olabilirim. Buraya yazıyorum bir kontrol eder misiniz?

q <=> (q => r)
[q => (q => r)] ve [(q => r) => q]
[q' veya (q' veya r)] ve [(q' veya r) => q]
[(q' veya q') veya r] ve [q] ----> burada q'ya değer verdim. Her halükarda q'ya bağlı olduğunu gözlemledim.
[q' veya r] ve [q] -----> aşağıda ve'nin veya üzerine dağılım özelliğini kullanıyorum
(q ve q') veya (q ve r)
0 veya (q ve r) -----> q ve r 'ye bağlı olduğundan aşağıda 0 silinir.
q ve r ----> sonuç bulunur.

ve - veya'ları yanlış yazdığım yerler olabilir. Kontrol ettikten sonra eğer çözümü doğruca yapabildiğimi söylerseniz gerçekten çok sevineceğim. (Hayatımda ilk kez matematik sorusu çözmenin sonucunun tadına vardım. Çünkü hayatımda böylesine uğraştığım ilk soruydu.)

Bir de ben çözümümü yazıyım sen karşılaştırırsın.

Evet çözümlerimiz aynı yazmama gerek yok :)

Yine de işaretlerle çözümü bulunsun, soruya belli bir yerden başlıyorum başı zaten belli;

q<=>(q=>r)
(q=>(q=>r)) ^ ((q=>r)=>q)
((q'vq')vr) ^ ((q^r')vq)
(q'vr)^q

Buraya kadar böyle geliyor, burdan sonra dağılma işlemi olduğu için renklendirme yapamadım

(q^q')v(q^r)
0v(q^r)
q^r

Döngüye girmeden önce değer verme düşüncesini diğer çözemediğim sorulara uygulayacağım. Eğer onları çözemezsem yardımınızı tekrar isteyeceğim. Ve ek olarak, aslında söylediğiniz "(p<=>q) = (p=>q)^(q=>p)" kuralını biliyordum ama yine de soruya farklı bir açıdan bakmamı sağladınız, teşekkürler.

Rica ederim, ayrıca renklerle hangi ifadenin neye dönüştüğünü yukarda gösterdim, yardımcı olduysam sevindim :)

İki çözüm arasında aslında küçük bir fark var ve ben burayı anlayamadım.
Benim Çözümüm: [q' veya (q' veya r)] ve [(q' veya r) => q]
Sizin Çözümünüz: ((q' veya q') veya r) ^ ((q ve r') veya q)

Siz ikinci kısmı "=>"den kurtarmışsınız. Ama ((q ve r') veya q) önermesinin sonucu nasıl "q" oluyor? q'ya değer verdiğimde sonuç farklı çıkıyor?

---Düzenleme
Aşağıdaki cevabınızın ispatını yaptım evet şimdi soruyu tamamen anladım, tekrar teşekkürler.

O da bir kural, bu şekildeki ifadeler her zaman dıştakine eşittir, ispatını şu an yapamayacağım ama.

q^(qvp)=q
qv(q^p)=q

Yani parantezin hem içinde hem dışında aynı harften var ve parantezin dışındaki işaretle içindeki işaret ters ise sonuç her zaman parantezin dışındakine eşittir. İçerdeki diğer harfin olumsuz yada olumlu olması önemli değil.

(1<=>q) <=> (q=>r) ≡ ?

(1=>q) ∩ (q=>1) <=> ( q'vr)

(q ^ 1) <=> (q'vr)

(q'vq'vr)^(q'vq'vr)

(q'vr) ^ (qvr)

cvp: q'vr


not= ^ işareri ve semboludür...

@kimlikmat, Sonuç zaten bulunmuştu ve sonuç kesinlikle "q ve r"ye eşit. Gökberk'in yazdığı kural ile sonuç bulunabiliyor.
Bende Gökberk'in yazdığı kuralı, hazırladığım mini bilgi kutusu ile şu şekilde ispatladım... (Hatasız matematik olmaz :) Hata bulursanız lütfen belirtin. )

http://bilimselinsan.files.wordpress...lgi-kutusu.png

İspat için teşekkürler, o gün zamanım yoktu, daha sonra da unutmuşum ispatlamayı :)