ABC üç basamaklı sayıdır. ABC ≡ A+B+C ( mod 9) şartını sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?
Yazdırılabilir görünüm
ABC üç basamaklı sayıdır. ABC ≡ A+B+C ( mod 9) şartını sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?
Üç basamaklı 900 tane sayı vardır.
999-100+1=900
Bu 900 sayının her biri, mod 9 da, rakamları toplamına denktir.
Açıklama admin tarafından.
Modüler aritmetik tanım gereği ; ABC= 9.k +( A+B+C) dir. [k tam sayı; bölüm]
ABC sayısını çözümleyip A, B ve C yi sol tarafa geçirirsek, 99.A+9.B=9.k ifadesi bulunurki bu şartı tüm rakamlar sağlar anlamı çıkar.
A,B ve C tüm rakamlar olabilecekse ABC şeklinde kaç tane 3 basamaklı sayı oluşturabiliriz onu bulacağız.
ABColması için A yerine 0 hariç dokuz rakam diğer B ve C ye 10 ar rakam gelebilir. 9.10.10= 900
hocam bence 9 ile bölünenleri çıkarmamalıyız direkt 900 demeliyiz.
Üstat, sağ tarafa 9 ve 9 dan büyük sayılar gelemez ki
ben böyle bir kural lduğunu bilmiyorumMatematikciFM'den alıntı:Üstat, sağ tarafa 9 ve 9 dan büyük sayılar gelemez ki
bana göre 759 ≡ 21 (mod9)
tabi tanım gereği böyle bir durum varsa soruya yeniden bakmamız gerekecek
Bu arada bu soruyla kafama takılan bir soruyu da ekliyim. a ≡b(mod m) tanımında a nın m ye bölümünden kalan b dir mi demek yoksa, aile b nin m ye bölümlerinden kalan aynıdır mı demek. 1. ise benimki doğru, 2. ise sizin ki doğru.
bir de A+B+C nin 8 ve daha altında değer alması gerekecekse bu şu soruya denk olur
"en fazla 8 elmayı 1. çocuk en az 1 elma alacak şekilde 3 çocuğa kaçdeğişik şekilde dağıtabiliriz?"
bence bir test sınavı için zor bir soru
Pek alakası yok gibi. Siz benim sorduğum soruya cevap verseniz?
hocam yanlış hatırlamıyorsam 1. dediğiniz doğru olmalı
Sen önce çıkarmanın tanımını öğren diğer tarafta
hocam alakası olmaz olur mu A+B+C nin 9 ve üstünde değer alması mod işleminin tanımı gereği mümkün değilseMatematikciFM'den alıntı:Pek alakası yok gibi. Siz benim sorduğum soruya cevap verseniz?
elimizde A+B+C toplamı için 1-2-3..-8 değer vardır.
örneğin bu değerlerden 1 i ele alalım böyle 1 sayı vardır o da 100
2 yi ele alırsak böyle 3 sayı olur 101 , 110 , 200 (2 elma 3 çocuğa ilk çocuken az 1 elma alacak şekilde dağıtılıyor)
3 ü ele alırsak böyle 6 sayı vardır 102,120,111,210,201,300 (3 elma 3 çocuğa ilk çocuk en az 1 elma alacak şekilde dağıtıldı)
...
8 i ele alırsak böyle C(9,2)=36 tane sayı vardır 107,116,... (8 elma 3 çocuğa ilk çocuk en az 1 elma alacak şekilde dağıtılıyor)
toplamda da sonuç (n=2 den 9 a)∑C(n,2)=C(10,3)=120 bulunur.
sizin tanımınızdan hareketle yukarıdaki soru oluşuyor, eğer benim düşündüğüm gibi bir mod işlemi tanımlanacaksa yani sağ tarafa 9 ve daha büyük sayı toplamları da gelebilecekse 900 tane sayı cevap oluyor.
YASER'den alıntı:ABC üç basamaklı sayıdır. ABC ≡ A+B+C ( mod 9) şartını sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?
Üstadım, benim bildiğim denkliğin sağ tarafına sadece kalanlar gelebilir. Sadece işlem yapılacağı zaman bu kalana modun atları eklenir işlem sona erer ve en son yine sağ tarafta moddan küçük sayılar kalır.Şimdi tam tanımını aradım kimi 1. yi kimi 2. yi diyor. yani muallakta kaldı.
ABC rakamları farklı üç basamaklı sayı olarak almalıyız.
işte hocam tanım sizin dediğiniz gibiyse cevap 120 olmalı yok tanım benim düşündüğüm gibiyse cevap 900 olmalı
sayın ALİ AVERİ soruda rakamların farklı olması gibi bir koşul verilmemiş.
Pardon. Yani 1. doğruysa benimki yanlış mı diyorsunuz ? Aymadı kafam
evet sizin tanımınız doğruysa böyle sayıların sayısı 120 olmalı bence
Geriye kalan 680 sayı ne oluyor peki?
hocam sizin hesabınızda 285 sayılıyor ama tanımınıza uygun bir sayı değil.
işte o 780 tane sayı bu şekilde dışarda kalır.
dün hareretli bir şekilde tartışıyordunuz, biraz işim vardı üzerinde fazla düşünmeden yazmak istemedim, şimdi bende fikrimi söyleyeyim hatrıladığım kadarıyla doğru yanlış bilmiyorum sadece benim fikrim (hatırladığım ve bildiğim kadarıyla)
sanırım en çok tartıştığınız kısım mod 9 a göre kalan 9dan büyük olabilir mi? yada o malum yere böyle bir sayı gelebilir mi? üzerine
bence gelebilir tabiki yalız bu durumdaki bir sayı için direk sayının kendisi değil denklik gurubundaki temsilcisi yazılmalıdır
(denk işareti yerine eşit kullanacam, yazımı zor olduğundan)
100A+10B+C= A+B+C (mod 9)
99A+9B=0 (Mod 9)
dolayısıyla bu şartı sağlamak için A,B ve C yerine her türlü sayı gelebilir, ne gelirse gelsin sağlanır
yalnız soruda rakamları farklı mı değil diye bir ibarede yok o yüzden aynıda seçebiliriz diye düşünüyorum
dolayısıyla sonuç olarak tüm üç basamaklı sayılar bu şartı sağlar yani cevabın 900 olduğunu düşünüyorum
rakamlar farklı olursada 9*9*8=728 olur diye düşünüyorum
Öğretmenim, benim verdiğim cevabın yanlış olduğunu anladım. Modüler aritmetiğin tanımı itibariyle 900 olduğunu da kabul ediyorum ama benim kafama yatmayan birşey var Denkliğin sol tarafına bölünen sağ tarafına kalan mod olarak da bölen kabul edilmiyor muydu?
valla hocam modüler aritmetik konusuna yaklaşık 10 yıldır, çok uzağım, bizim müfredatta bu konu olmadığı için çok uzun süredir uğraşmadığımdan öyle ince ayrıntılarıdır tanımdır malesef hatırlamam mümkün değildir taktir edersiniz, sadece aklımda kaldığı kadarıyla yorum yaptım belkide yanlış hatırlıyorumdur,
şöyle bir örnek de vereyim;
45=3 (mod7) olduğu belli zaten, birazcık değiştirelim
50-5=3 (mod7)
50=3+5 (mod7)
50= 8 (mod7) yazımının yanlış olduğunu düşünmüyorum sadece bir adım daha eklemek gerekecektir 8 yerine 8in mod7 ye göre temsilcisi olan 1 yazmak gerekecektir ( ama bu oraya 8 gelemez olarak algılanmamalı)
50=1 (mod7)
şimdi sonuç olarak;
45=3 (mod7) olduğundan
50=8 (mod7) olamaz çünkü 7 yi geçiyor demek mantıksız olur taktir ederseniz ( sadece düzenlenmesi gerek, ve bununda sonuca olumsuz bir etkisi olmaz)
Sonuç olarak?
Ayrıca Sayın Admin, sizin de görüşünüzü öğrenmek istiyorum bu konuda.
Üç basamaklı 900 tane sayı vardır.
999-100+1=900
Bu 900 sayının her biri, mod 9 da, rakamları toplamına denktir.
Bende hangi tanımım doğru olduğuna emin olamadım kitaba baktım.
Tanım tam olarak şu şeklide;
"m, 1 den büyük bir tam sayı olmak üzere , a'nın ve b'nin m ile bölümünden elde edilen kalan kalanlar eşitse a ≡ b (mod m) dir."
"Aynı zamanda a= m.k +b dır [ k bir tam sayı]"
"örnek, 15 ≡ 23 (mod 2) yada 23 ≡ 15 (mod 2)" ifadeleri kaynak kitaptan alıntıdır.
Bu arada paradoks12 öğretmenim, 8. sınıfta modüler aritmetik yok mu?
yok hocam, daha önceden varmıyıdı bilmiyorum ama ben hiç karşılaşmadım
Modüler aritmetik ilk defa 9. sınıfta mı anlatılıyor yani? Ben 8. sınıftlara anlattığımı hatırlıyorum.
şuanda yok, 6 yıldırda hiç bir kitapta konu olarak görmedim, ama sonuçta her yerde aynı kitap okutulmuyor gerçi başka kitaplarda da olduğunu hiç sanmıyorum, çünkü yaprak test ve kaynak kitaplarda da hiç modüler aritmetikle ilgi bir soruyla karşılaşmadım
İlginç.