faktöriyellerle ilgili soru

1) 40!=15^a.b dır. a ve b doğal sayı 'a' en çok kaçtır ?

2) 50!=27^a.b dır. a ve b doğal sayı 'a' en çok kaçtır ?

1.40! içinde 15 çarpanına bakalım;
15 asal olmadığınddan 5 çarpanı kadar 15 çarpanı vardır;
40:5=8
8:5=1
8+1=9
bu durumda a 9 olur

C-1) 40!=15^a=3^a.5^a.b
40!=1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.,,,.39.40 ifadesi içinde kaç tane 3 ve 5 çarpanı bulunacağına bakalım. Burada dikkat edeceğimiz enfazla 5 çarpnı kadar 3 çarpanı alabiliriz.
5,10,15,20,25,30,35,40 sayıları içinde 9 tane 5 çarpanı vardır. Bu 9 çarpana karşılık en az 9 tane 3 çarpanı bulunabilir.
a nın en büyük 9 olacağı ve 40!=3⁹.5⁹.b=15⁹.b şeklinde yazılabileceğini görürüz. Cevap 9dir.

C-2) 50!=27^a.b ise 3 çarpanı kaç tane var buna bakarak 3ünü küpü (27) şeklinde yazabilecek kadar olanlarını alacağız.
50! içinde 22 tane 3 çarpanı vardır. 3²² ifadesini (3³)^k şeklinde yazacak kadarını alacağız. Yani (3³)⁷ kadarını yani 21 adet 3 çarpanını aldığımızda
50!=27⁷.b şeklinde yazabileceğiz. Cevap 7dir.
Peki 22 adet 3 çarpanı olduğunu nasıl buluyoruz.
Kısa yolu şöyle 50 yi 3 e bölüyoruz 16 çıkıyor. 16yı 3 bölüyoruz 5 çıkıyor. 5i 3 e bölüyoruz 1 çıkıyor. Bulduğumuz bölümleri topluyoruz. 16+5+1=22