1)Dört basamaklı abcd sayısı bir tam sayının karesidir. Bu sayının her rakamından 1 çıkarılarak elde edilen yeni dört basamaklı sayıda bir tam sayının karesidir. Buna göre abcd sayılarının rakamları toplamı kaçtır?

Cevap:13

2) 9 sayı tabanı olmak üzere, (8888..88)9=(3^48)-1 , (8 lerin sayısı x tane) ise x kaçtır?

Cevap:24

1. Sorunuz çözümü çok da zor olmasada kaliteli bir soru. Çözümü söyle:
Eğer abcd 4 basamaklısının her rakamından 1 çıkarırsanız sayı 1111 küçülür. Şimdi denklemimizi yazalım abcd=m² ve de abcd-1111=n² diyelim. 2. Denklemde abcd yerine m² yazarsak denklemimiz şu hale dönülür, m²-1111=n² ---> m²-n²=1111 --->
(m-n).(m+n)=1111 biz burada ya çarpanları 101 ve 11 seçeriz yada 1 ve 1111 ama 1 ve 1111 seçersek m çok büyüyeceğinden ve 4 basamaklı olmayacağından m-n=11 ve m+n=101 alırız. Buradan m=56 çıkar, m²=3136 oldu rakamları toplarsak 13 olur.

https://img801.imageshack.us/img801/6169/fspy.png

https://img819.imageshack.us/img819/8335/murr.png

2. soru için,
önce sayıyı 10 tabanına çevirirsek;
(8*9^(x-1)+8*9^(x-2)+.......+8*9+8)=8(9^(x-1)+9^(x-2)+.......+9+1)=8*(3^(2x-2)+3^(2x-4)+......3²+1)=3⁴⁸-1

eşitliğin iki tarafını da 3 sayı tabanına çevirelim.
[21*(1010101......101)]₃=(22222222.....22222)₃;
burada 101010....101 sayısı 2x-1 basamaklıdır. 2222222.....22 sayısı ise 48 basamaklıdır.
çarpma işlemi yapılacak olursa; (22222......222)₂=(2222....2222)₃ bulunur. burada eşitliğin ilk tarafındaki sayının basamak sayısı ise 2x tir. o halde 2x=48, x=24 bulunur. :cool: