Bölünebilme,OBEB-OKEK,Sayma Sistemleri

1)3 ile bölündüğünde 1, 5 ile bölündüğünde 3 kalanını veren 240 ile 550 arasında kaç tane doğal sayı vardır?
2)72!/(18)ⁿ ifadesinin bir tamsayı olabilmesi için n sayısının alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?
3)(ab) ve (cd) iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere, (ab).(cd) çarpımında a rakamı 3 artırılıp, c rakamı 3 azaltıldığında çarpımın değeri 360 azaldığına göre, (ab) sayısı (cd) sayısından kaç eksiktir?
4)7 tabanında yazılabilecek 3 basamaklı en büyük sayının(12)₁₀ fazlası 7 tabanında kaçtır?
5)Dört basamaklı 3a4b sayısının 45 ile bölümünden kalan 16 olduğuna göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

1) bu sayı x olsun
bu sayıya 2 eklerseniz hem3 hemde 5 ile tam bölünürdü(neden?) o halde
x+2 sayısı 3.5=15 in katı olmalı 240 ile 550 arasında 15 in katları
255,270,285,...,525,540 şeklinde toplam 20 tane.( (bunlar x+2 sayıları dikkat)
bulunuşu: hepsini 15 e bölün 17,18,19,...36 şeklinde bir dizi oluşur buradada toplam36-16=20 sayı var o halde x sayılarıda 20 tane olur ve bu sayılarda
253,268,...,523,538 şeklinde

2)72! / 18ⁿ = 72! / 2ⁿ.3²ⁿ yazın
72! in içindeki 3 çarpanlarını 72 yi 3 ile sürekli bölme yaparak toplam 24+8+2=34 tane bulursunuz buradan 3²ⁿ için 2n=34 olabilirmiş maximum buradan n=17

3)ab = x olsun a rakamı 3 arttırılırsa sayı 30 artar x+30 olur
cd=y olsun c rakamı 3 azaltılırsa sayı 30 azalır y-30 ve yeni çarpımları
(x+30)(y-30)=xy-30x+30y-900 olur bu hali x.y halinden 360 daha az olarak verilmiş buradan
xy-30x+30y-900=xy-360 denklemini kurup
30(y-x)=900-360
y-x=18 demekki ab sayısı cd sayısından 18 daha az olarak bulunur.

4)7 tabanındaki 3 basamaklı en büyük sayı (666 )₇
bu sayıya 12 yani 7 tabanında (15)₇ ekleniyor bu ikisini 7 tabanında toplarsak 666+15=(1014)₇ buluruz

5)3a4b sayısını 3000+100a+40+b olarak görün bu sayı 45=5.9 ile bölününce 16 kalıyorsa
3000+100a+40+b=5.9.B+16 yazalım (B sayısı bölüm olarak kabul edildi)
heriki taraf 5 ile bölünürse (mod5 için) b=1 bulunur yani b=1 yada b=6 olabilir
her iki taraf 9 ile bölünürse (mod9 için)
3+a+4+b=7 ve buradan a+b=0 bulunur(tabiki mod9 için) buradan
b=1 için a=8 yada b=6 için a=3 sonuçları çıkar
a rakamı toplamda 8+3=11 olur

Çok teşekkürler hocam