Küme soruları

Merhaba,

Aşağıdaki soruların yapılışını anlatırsanız sevinirim:

1- 1 ile 100 arasındaki sayılardan 2 veya 6 ile bölünüp 7 ile bölünemeyen kaç sayı vardır?
(Cevap:42)

2- x bir doğal sayı, 1 ≤ x ≤ 900 ise, x sayısı 2 veya 3 veya 5 ile bölünebilmektedir. Bu koşula uyan kaç tane doğal sayı vardır?
(Cevap:660)

3-A, B'nin bir alt kümesi olmadığına(B'nin A'yı kapsamadığına) göre, A ve B kümelerinin iki elemanlı alt kümelerinden 3 tanesi aynıdır.

s(A U B)= 11

s(B)=6

olduğuna göre, s(A) kaçtır?

(Cevap:8)


4- 5 elemanlı alt kümeleri sayısı, 2 elemanlı alt kümeleri sayısının 2 katı olan kümenin, 4 elemanlı alt kümeleri sayısı kaçtır?

(Cevap 70)


5-Bir kümenin en çok 3 elemanlı alt küme sayısı 26 olduğuna göre, en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

(Cevap:26)

Dipnot:2. soruda "B, A'yı kapsamaz" işaretinin yapılışını bilmediğimden yazarak anlatmaya çalıştım.

Şimdiden teşekkürler...

C.5
küme n elemanlı olsun.C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)=26 'ymış buradan sonra kombinasyon işlemi yaparsanız n=5 bulunduğu görülür.En az 2 elemanlıları soruyor yani Tüm alt kümelerinden 0 elemanlı ve 1 elemanlıları çıkaralım toplamda 2⁵ tane alt küme vardır 1 tanesi boş küme ve diğeri 1 elemanlı C(5,1)=5 tane vardır. 5+1=6 tane

32-6=26 tane bulunur.

C.4
kümemiz n elemanlı olsun.
C(n,5)=C(n,2)*2 şeklindeymiş n=8 , n=1 ,n=0 olabilir. 4 elemanlıdan bahsediyor n=8 alınacağı bellidir.C(8,4)=70 bulunur.

öncelikle ilginiz için sağolun, ama ben deneme-yanılma metodu ile bu soruları çözebiliyorum. Benim isteğim konunun içeriğinde belirttiğim gibi soruların "yapılışını, mantığını" anlatmanız.

5.sorudaki c(n,3) işleminin nasıl yapılacağını bilmiyorum, c(n,3)'nün kombinasyon işleminin nasıl yapılacağını anlatırsanız sevinirim.

4. soruda da deneme-yanılma metodu dışında sorunun mantığını bana k*****acak bir yapılış işlemi yok mu?

bunlar deneme yanılma yöntemi değil zaten.Tam çözüm ; c(n,3) kısmını bilirsiniz diye yazmamıştım forumda kombinasyon alma , vs.azcık araştırırsanız bulurssunuz.

svsmumcu26'den alıntı:

bunlar deneme yanılma yöntemi değil zaten.Tam çözüm ; c(n,3) kısmını bilirsiniz diye yazmamıştım forumda kombinasyon alma , vs.azcık araştırırsanız bulurssunuz.

teşekkürler, c(n,3) araştırmıştım önceden, fakat hiç n'nin 5 li kombinasyonlarının bulunmasıyla ilgili çözümlü sorular bulamamıştım. Sizin forumdaki birkaç dökümana da göz attım. Fakat her seferinde "5'nin 3lü" gibi kombinasyonlar anlatılmış, "n'linin 5lisi" gibi yok. Bu soru tipinde çözümlü sorularınız sitenizde mevcut mu bilmiyorum; ama lütfen sadece 5.soruyu en azından çözme şansınız yok mu?

dipnot: ilk üç soruyu cevaplamamışsınız :(

5.
şuan evde değilim olsam bakarım zatende inşallah başka bi arkadaşımız bakar diğer sorularınızada evde olmadığımdan bakamıyorum zaten.

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)=26 - Wolfram|Alpha

en azından yukarıya bi bakın wolphramdan anlarsınız belki bişeyler ayrıca çözümlü örnekler bölümünde mevcut bi kaç soru vardır "kombinasyon&permütasyon" ile ilgili.

C.3

b kümesinin 2^6 adet alt kümesi vardır bu durumda s(a) ve s(anb)'ye 2^4 adet alt küme kalıyor bunlardan 3 tanesi aynıymış yani 2^3 tane alt kümede burdan gelir.(bu aynı dediği kesişimleri oluyor.) 2^4-2^3 => 16-8 => 8 bulunur.

C.2
Burada ilk önce 2 ile bölünenlere ve sırasıyla diğerleriyle bölünenlere bakar kesişimleri çıkarırsınız eve geçince bakarız bunlarada unutmazsak.

C.1
Aynı mantık zaten 2.siyle.

svsmumcu26'den alıntı:

C.3

b kümesinin 2^6 adet alt kümesi vardır bu durumda s(a) ve s(anb)'ye 2^4 adet alt küme kalıyor bunlardan 3 tanesi aynıymış yani 2^3 tane alt kümede burdan gelir.(bu aynı dediği kesişimleri oluyor.) 2^4-2^3 => 16-8 => 8 bulunur.

C.2
Burada ilk önce 2 ile bölünenlere ve sırasıyla diğerleriyle bölünenlere bakar kesişimleri çıkarırsınız eve geçince bakarız bunlarada unutmazsak.

C.1
Aynı mantık zaten 2.siyle.

C.3 ü biraz daha ayrıntılı anlaatabilir misin?

3-A, B'nin bir alt kümesi olmadığına(B'nin A'yı kapsamadığına) göre, A ve B kümelerinin iki elemanlı alt kümelerinden 3 tanesi aynıdır.

s(A U B)= 11

s(B)=6

olduğuna göre, s(A) kaçtır?

S(b)=6 verilmiş
S(AuB)=11 verilmiş bi de bu kümelerden 3 tanesi aynıymış yani 3 tanesi kesişimdir
O halde S(a)=8 olur bundan sonraki yaptığım gibi zaten.

3 tane alt kümesi aynı demiyor mu? Yinede ben farklı bir yolla yaptım:

s(AUB)=11 verilmiş ve s(b)=6 olan kümenin 2 elemanlı alt kümelerinden 3 tanesi "A" ile aynı olduğuna göre şu mantığı kurdum:

C(n,r)= n elemanlı bir kümenin r'li kombinasyonundan yola çıkarak 6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinde "A" kümesine eşit olan üç küme şöyle olabilir:

{a,b}, {a,c}, {b,c}

Yukarıdaki üç alt kümede toplamda "3" tane eleman bulunuyor. Eğer ki bu alt kümelerin içinde a,b,c elemanlarının birinin yerine "d" elemanını ekleseydik ve toplamda üç alt küme içinde "4" tane farklı eleman barındırsaydık aynı olan alt küme sayısı asla 3 olarak kalmazdı. 4 tane eleman olduğu için başka alt kümelerde "A" ve "B" kümesi için kesişime girerdi. Bu yüzden sadece 2 elemanlı 3 tane alt kümenin kesişime girmesi için 3 tane farklı eleman olmak zorunda.

Buradan yola çıkarak s(AnB)=3 dersek ve s(A-B)= 5 olarak gelirse 5+3=8 çıkar.

YAPTIĞIM YOL DOĞRU MU?

Bu arada lütfen diğer sorulara da sonra bakmayı unutmayın :)

Güncellll, lütfen başka hocalar bari diğer sorular için yardım etsin :(

hadi ama sınav olacağım hafta içi yardım edin :(

Yaptığımız şey hemen hemen aynı :) Sen sadece örnekleyerek kanıtlamışsın :)

2- x bir doğal sayı, 1 ≤ x ≤ 900 ise, x sayısı 2 veya 3 veya 5 ile bölünebilmektedir. Bu koşula uyan kaç tane doğal sayı vardır?
(Cevap:660)

2. Soru'nun cevabı:
2 ile bölünebilen sayılar : 2 4 6 8 10 12 .... 900(2.450) Bu aralıktaki sayıların adedi 450'dir.
3 ile bölünebilen sayılar: 3 6 9 12 15 18 ....900'dür. Bu aralıktaki sayılardan çift olan sayılar zaten yukarda sayıldığından, 3 ile bölünebilen sayı aralığında çift olmayan sayıların adedini bulacağız.
Bunun için şöyle bir yol izleyebiliriz:
( 1 3 5 7 9 11 ......x ) Bu tek sayı dizisinin her bir elemanını 2 ile çarpıp alttaki satıra yazıyoruz.
( 2 6 10 14 18 22 .....2x ) Tek sayı dizisinin her bir elemanını, bu satırımızda ki her bir karşılık gelen eleman ile topluyoruz. ( 3 9 15 21 27 33 .....3x ) Sonuç olarak görüldüğü gibi oluşan yeni dizi 3'e bölünebilen elemanların dizisinde ki çift olmayan elamanlardan oluşuyor. Şimdi buradaki eleman sayısını kolayca bulabiliriz.
Bize verilen sorudaki çift olmayan en büyük 3'e bölünebilen sayı 897 yani 3x=897 oluyor. Burdan x=299 olur. 1 3 5 7 9 11 ....299 aralığındaki tek sayıların sayısını da 2n-1=299 buradan 2n=300 n=150 olarak buluruz.
5 ile bölüne bilen sayılar: 5 10 15 20 25 30 35 .... 900
Bu sayı dizisinde de çift yazılan sayılar zaten 2'ye bölünebilen sayılarda mevcut. Dizimizde bunlar yer almadan tekrar yazarsak
5 15 25 35 .... 895 Fakat bu dizinin eleman sayısını hesaplarken, 3'e bölünebilen sayıların içinde de olan sayıların adedini de çıkarmamız gerekiyor. Önce bu dizinin eleman sayısını bulalım. Bu diziyi tek sayılardan oluşan bir diziyi 5 ile çarparak elde edebiliriz. O zaman 1 3 5 7 .... 179 dizimiz böyle olurdu. Yani bu dizinin her elemanını 5 ile çarpınca
5 15 25 35 .... 895 olan diziyi elde ediyoruz. Şimdi bu dizinin eleman sayısı 2n-1=179'dan 2n=180 n=90 olur. *90 elamanı vardır.
Şimdi 3'e bölünebilen sayıların içinde var olan 15 45 75... 885 dizinin elaman sayısını bulalım. Bu diziyi oluştururken şöyle düşünebilirsiniz. Tek sayılardan oluşan dizimizi 1 3 5 7 9 11 .... 59 önce 5 ile çarptığınızda 5 15 25 35 .... 5.59 olur. Bu diziyi bir daha 3 ile çarptığınızda yani tek sayı dizisini 15 ile çarpıyorsunuz. Sonuç
15 45 75 135 165 .... 59.15(885) olur. Bu dizinin eleman sayısı 2n-1=59'dan 2n=60 n=30
olur. * ile gösterilen yerde bulduğumuz 90 sayısından 30'u çıkarırsak 60 elemanımız olur( İçerisinde çif sayılardan oluşan elaman sayısı ve 3'e bölünebilen eleman sayısı yok).
Sonuç olarak: 2 ile bölünenbilen eleman sayısını 450
3 ile bölünebilen eleman sayısını 150
5 ile bölünebilen eleman sayısını 60 bulmuştuk. Toplarsak 660 olur.

bosver'den alıntı:

Merhaba,

Aşağıdaki soruların yapılışını anlatırsanız sevinirim:

1- 1 ile 100 arasındaki sayılardan 2 veya 6 ile bölünüp 7 ile bölünemeyen kaç sayı vardır?
(Cevap:42)

Bu soru da 1 ile 100 arasında ki çift sayılar 2 4 6 8 ... 98(2.49) olup 2n=98 n=49 olur eleman sayısı. 6 ile bölünebilen sayıları incelediğimiz de hepsinin çift sayı olduğunu görürüz. 6 12 18 24 30 36 ... şeklinde Bu nedenle 6 ile bölünebilen eleman sayısının önemi yok bu soru için geriye 7 ile bölünebilme kaldı.
7 ile bölünebilen sayılar 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 olup bu sayı dizisi içerisinden çift sayıların adedini bulmalıyız. Onlarıda sayarsak 7 adet 7 ile bölünebilen çift sayımız var. 7 ile bölünebilmesi istenmediği için 49-7= 42 tane sayı vardır.

çok sağolun arkadaşlar :D :D