x iki basamaklı, y üç basamaklı doğal sayılardır.
19^x=2 (mod 7)
27^y=3 (mod 11)
olduğuna göre, x + y en az kaçtır?
Cevap:112

19≡5(mod7)
27≡5(mod11)
5, 7 ve 11 aralarında asaldır. Fermat'ın Küçük Teoreminden;
5⁶≡1(mod7)
5¹⁰≡1(mod11)
O halde x=6k+l, y=10m+n şeklinde olmalı.
5¹≡5(mod7)
5²≡4(mod7)
5³≡6(mod7)
5⁴≡2(mod7) olduğundan x=6k+4 diyebiliriz.
5¹≡5(mod11)
5²≡3(mod11) olduğundan y=10m+2 diyebiliriz. x iki basamaklı olacaksa k=1 alabiliriz, x=10 olur. y üç basamaklı olacaksa m=10 alırız, y=102 olur.
Toplamları en az 112'dir.
İyi günler.

bu çözüm bu sorunun özelinde doğru olabilir ama değişik sayılar için yanlış sonuçlar verebilir.
atıyorum herşey aynı olsaydı da 19^x=2 (mod 7) yerine 17^x≡9 (mod13) denilseydi sıkıntı yaşayabilirdik.

Fermat Teoremini kullanırken aklımızın bi köşesinde bulunsun diye belirtmek istedim. teorem ilk defa 1 in a^p-1 de oluştuğunu söylemiyor. (p-1) in herhangi bir çarpanında da 1 oluşabilir.

Uyarılarınız için teşekkürler @gereksizyorumcu. Soruda kullanmayacağımız için o kısımları atlamıştım, not olarak durması iyi oldu.
İyi günler.

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

bu çözüm bu sorunun özelinde doğru olabilir ama değişik sayılar için yanlış sonuçlar verebilir.
atıyorum herşey aynı olsaydı da 19^x=2 (mod 7) yerine 17^x≡9 (mod13) denilseydi sıkıntı yaşayabilirdik.

Fermat Teoremini kullanırken aklımızın bi köşesinde bulunsun diye belirtmek istedim. teorem ilk defa 1 in a^p-1 de oluştuğunu söylemiyor. (p-1) in herhangi bir çarpanında da 1 oluşabilir.

---

Selamlar.
Fermat'ın küçük teoremine göre 3³≡1(mod4) denkliğinin sağlanması gerekmiyor mu?
Fakat 27, 4 tabanında 3'e denk :confused: Aydınlatır mısınız?

Alıntı:

---

yektasimsek'den alıntı

Selamlar.
Fermat'ın küçük teoremine göre 3³≡1(mod4) denkliğinin sağlanması gerekmiyor mu?
Fakat 27, 4 tabanında 3'e denk :confused: Aydınlatır mısınız?

---

4 asal değil. fermat asal modlar için söylemiş.
4 gibi sayılarda da bu teoremin genel hali var euler teoremi.

a ve n aralarında asal sayılarken a^phi(n)≡1 (mod n)
burada phi(n) n den küçük ve n ile aralarında asal sayıların sayısı. phi(4)=2 ( p asalken phi(p)=p-1)

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

4 asal değil. fermat asal modlar için söylemiş.
4 gibi sayılarda da bu teoremin genel hali var euler teoremi.

a ve n aralarında asal sayılarken a^phi(n)≡1 (mod n)
burada phi(n) n den küçük ve n ile aralarında asal sayıların sayısı. phi(4)=2 ( p asalken phi(p)=p-1)

---

Teşekkür ederim :)