K ∈ N
a,b,c ∈ doğal sayılar
K=3a-2=5b+1=8c+2 ise K 900 den küçük en az kaçtır ?

sorusu modüler aritmetik ile nasıl çözülür ? İşlemleri adım adım yaparsanız sevinirim çünkü bugün bu soruyu anlamam gerekli teşekkürler

Alıntı:

---

TheMentu'den alıntı

K ∈ N
a,b,c ∈ doğal sayılar
K=3a-2=5b+1=8c+2 ise K 900 den küçük en az kaçtır ?

sorusu modüler aritmetik ile nasıl çözülür ? İşlemleri adım adım yaparsanız sevinirim çünkü bugün bu soruyu anlamam gerekli teşekkürler

---

K≡-2(mod3)
K≡1(mod5)
K≡2(mod8) sorunuzun modülercesi bu K =? mod olmadan basit çözümlerde var ama illaki mod ile çözüm istiyorsanız benim aklıma gelen meşakkatli bir yol var belki kısa biryolda olabilir mod ile ama şuan aklıma gelmedi başka bişey
birde galiba sorunuz 900 den küçük en büyük K nedir olacak ben öyle çözüm yazayım
K=3a-2 bunu 2. ifadede yaz
3a-2≡1(mod5)
3a≡3(mod5)
a≡1(mod5) yani a=5x+1 formunda bir sayıymış demekki K=3(5X+1)-2=15X+1
bunuda 3.ifadede yazalım
15x+1≡2(mod8)
15x≡1(mod8)
-x≡1(mod8)
x≡7(mod8) demekki x=8y+7 formundaymış bunuda K=15X+1 de yerine yaz
K=15(8y+7)+1
K=120y+106
bunuda y yerine ne koyarsak 900 e en yakın olur y=6 için K=120.6+106=720+106=826

K=3a-2 ise K ≡ 1 (mod 3)
K=5b+1 ise K ≡ 1 (mod 5)
K=8c+2 ise K ≡ 2 (mod 8)

birinci ifadeden elde edilen K = 3x+1 (veya zaten verilen 3a-2) ifadesini ikinci denklikte yerine yazalım:

3x+1 ≡ 1 (mod 5)
3x ≡ 0 (mod 5)
x ≡ 0 (mod 5)

Buradan x= 5y ve K = 15y+1 elde edilir. Bunu son denklikte yerine yazarsak

K ≡ 2 (mod 8)
15y+1 ≡ 2 (mod 8)
15y ≡ 1 (mod 8)
-y ≡ 1 (mod 8)
y ≡ -1 (mod 8)
y ≡ 7 (mod 8)

buradan da y=8z+7 ve K = 15(8z+7)+1=120z+106 elde edilir.

K'nin en küçük değeri z=0 için 106 olur.

900 den büyük en küçük olacak özür dilerim

z=7 için K=946 olur.

teşekkürler