Bölen Sayısı

Soru1: 24 tane pozitif tam sayı böleni olan en küçük doğal sayı kaçtır?
(deneyerek buldum zaten 360 oluyor cevap ama mantığını öğrenmek istiyorum. sayıları birbirine mümkün olduğunca yakın mı seçmemiz gerekiyor ya da en küçük asal çarpan olan 2 'ye niye tamamen sayıyıı verince (2²³ sayısı) sayı büyük çıkıyor?)

Soru2: n doğal sayı n≥2 olmak üzere,
n⁵-n sayısı hangisine kesinlikle bölünür?
30 - 21 - 18 - 14 - 11

genel hali teknik olarak nasıl çözülür açıkçası bilmiyorum bu haline yani n=24 verildiğinde ben olsam ufak bi analize girişip oluşan durumlar içinden seçim yapardım;

24=2³.3 olduğuna göre ve her bir asal çarpan için sayının bölen sayısı en az 2 ile çarpılacağından bu istenen sayının en fazla 3 farklı asal çarpanı olacaktır. öyleyse bu minimum sayının
2^a.3^b.5^c (b ve c nin 0 olması durumları da dahil)
b=0 durumunu incelemeye gerek duymuyorum minimum oluşturmayacağı çok açık
eğer c=0 ise (a+1).(b+1)=24 ve a>b durumu göz önünde bulundurulursa a=7,b=2 veya a=5,b=3 sonuçları elde edilir, ikinci durumun daha küçük bir saati elde edeceği belli çünkü 4>3

şimdi c nin sıfır olmadığı durumu incelersek ve yine a>=b>=c olması gerektiği düşünülürse
(a+1).(b+1).(c+1)=24
a=5,b=1,c=1 veya a=3,b=2,c=1
burada da ikincinin daha küçük olduğu görülüyor.
sonuçta 360 a ulaşılıyor.

bi sorunuz daha varmış :)

2.
=n.(n⁴-1)
=n.(n²-1).(n²+1)
=n.(n-1).(n+1).(n²+1)

burada 3 ardışık sayı var en az bi tanesi 3 e bölünür. en az bi tanesi de 2 ile bölünür. şimdilik sayının her zaman 6 ile bölündüğünü gösterdik.

ayrıca 5 asal olduğundan euler ( ya da fermat) teoremine göre
her n için n⁵-n sayısı 5 e bölünür.

sonuçta bu sayı her zaman 30 ile bölünür

saolun, çok yardımcı oldunuz, daha önce hiç euler(fermat) teoremini duymamıştım. Gerçekten ilginç denediğim her sayıda da n^5-n 5'e bölünüyor.

bölünebilmede Euler olmasa bile Fermat öğretiliyor diye biliyorum

teorem şöyle diyor belki hatırlarsınız

p bir asal a da bir tam sayıyken
a^p≡a (modp)

ya da şu şekilde de yazılıyor olabilir , p asal bir sayıyken a ve p aralarında asalsa
a^p-1≡1 (modp)