sayılar,kümeler,ebob ekok

1){-16,-15,-14....149,150} kümesinde 5 ve 6 veya 7 ve 8 le bölünüp 4 veya 9 ile bölünmeyen kaç sayı vardır?

2)(6+√35)¹⁹⁸⁰ sayısının virgülden sonraki kaç basamağı 9 dur?

3)1 den 100 e kadar (100 dahil) sayılardan kac tanesi, iki veya daha fazla
ardısık pozitif tamsayının toplamı olarak yazılabilir?

4)kenar uzunlukları 30 ve 72 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin içine ve etrafına köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla gül fidesi dikilecektir.Bahçenin tam ortasında 7m yarıçaplı dairesel bir havuz bulunduğuna göre bu iş için en az kaç gül fidesi gerekir?

5)x, abcde şekilnde ondalıklı sayı ile x+1 fghik şeklinde ondalıklı iki tam sayının toplamı 2x+2 tam sayısıdır.bu iki tam sayının ondaklıklı basamaklarının toplamı ne olur?

6)Bu karıncanın, ekranın sol alt köşesinden,
yatay uzaklığı 10 cm ve dikey uzaklığı 45 cm olan noktadan hareketle
ekranın aynı köşesinden
yatay ve dikey uzaklıkları sırasıyla 40 cm ve 15 cm olan noktaya varması için,
ekran üstünde en az kaç cm yol katetmesi gerekir?

1)ekok(5,6)=30 ve ekok(7,8)=56 olduğundan aslında 30 veya 56 yı bölünüp 4 veya 9a bölünmeyen sayıları aramamız gerekir. ama 7 ve 8 e bölünen hr sayı zaten 4 e bölüneceğinden bu grupla hiç ilgilenmeyeceğiz.
aslında aramamz gereken sayılar; 30 a bölünüp 4 veya 9 a bölünmeyen sayılardır.
150:30=5 olduğundan verilen aralıkta sadece 5 sayı 30a tam bölünür. (negatifler zaten bu şartı sağlmıyor.)
bu sayılar: 30,60,90,120 ve 150 dir.
ekok(4,30)=60
ekok(9,30)=90 olduğundan;
60,90 ve 120 yi eleriz çünkü bunlar 4 veya 9a tam bölünür. geriye sadece iki sayı kalır (30 ve 150)

çok teşekkürler hocam diğerlerinede bakarmısınız

4) ebob(30,72)= 6
30:6=5
72:6=12
normalde havuz olmasa (5+1).(12+1)=78 tane gerekir derdik ama havuza ekilmeyecektir. (bu noktadan sonra takıldım:) yani şekil çizilmesi gerekiyor çizmeye çalışayım)
https://img847.imageshack.us/img847/...at08012012.jpg
merkezin yerini tahmin edip basit bir iki işlemle sadece 6 noktanın havuzun içine denk geldiğini görmek mümkün yani 78-6=72 fide dikilecektir

3 ve 6 yı özellikle çözemedim onlarada bakar mısınız?

3)

I) Bütün tek sayılar ardışık iki sayının toplamı şeklinde yazılır. Çift sayılar yazılamaz.
100/2=50 50-1=49 (1 i çıkarttık) (49 ADET)
II) 1 den n ye kadar olan sayıların toplamı için, toplamı 100 den küçük tutmak için n yi en fazla 13 alabiliriz. Formülü n.(n+1)/2 idi.
n= 2, 3, ... 13 için toplamlar 3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91
ama tekleri saymıştık, geriye kalan çiftler, 6,10,28,36,66,78 (6 ADET)

III) Herhangi bir x sayısının, n kadar ardışık sayının toplamı şeklinde yazılabilmesi için kural (n>2) :
a) n tek ise; x, n ye tam bölünecek.
b) n çift ise; x, n+1 e tam bölünecek.

Bu kuralı kullanarak
a) n tek olduğunda, örneğin 3 için , 3 ün katlarını arıycaz. Bu katlardan tek olanları I. maddede saymıştık, onları saymıycaz. Çift katlar ise, 2 ve 3 e bölündüğü için 6 ya bölünen sayılardır. II. maddede, 6,36,66 ve 78 sayıldı. Bunları da çıkarırsak ,
12,18,24,30,42,48,54,60,72,84,90,96 bulunur. (12ADET)
n=5 için, x , 10 a bölünmeli. Daha önceden sayılanları çıkarırsak geriye,
20,40,50,70,80,100 kalır. (6 ADET)

n=7 için , x, 14 e bölünmeli , ama 14 olamaz. Yukarıda sayılanları çıkarırsak geriye,

56, 98 kalır. (2 ADET)

n=9 için , x 18 e bölünmeli. Yukarıda 18 in tüm katları sayıldı.

n=11 için , x 22 ye bölünmeli ancak, 1 den 11 e kadar olan sayıların toplamı 66 yapıyordu. O yüzden 66 nın altı işimize yaramaz.66 da sayılmıştı. Geriye 88 kalır. (1 ADET)

n=13 için, x 26 ya bölünmeli ancak, 1 den 13 e kadar olan sayıların toplamı 91 yapıyordu. O yüzden 91 in altı işimize yaramaz.91 de sayılmıştı. 91+13=104 , 100 ü geçtiği için başka sayı yok.

b) n çift olduğunda, Örneğin 4 olduğunda, aradığımız sayıların 5 e bölünmesi gerekecek. Biz zaten a maddesinde 5 e bölünen çift sayıları ayıklamıştık. O yüzden bu maddede, yukarıda sayılanların haricinde sayı gemiycek.



Şimdi, tüm maddelerde parantez içinde yazılı olan adetleri toplarsak,
49+6+12+6+2+1=76 sayı istenilen şartı sağlar.
Umarım yanlış saymamışımdır.

5. sorunun cevabı 1 dir zaten
6. sorunun başı yazılmamış galiba. Tamamlarsan ona da bakarız.
2. soru için şimdilik fikir yürütemedim.

6.cı soru tam olarak

Bir bilgisayar oyununda, 50cmx50cm boyundaki bir ekranda hareket eden bir karınca ,

ekranı harhangi bir kenardan terkettiğinde, ekrana,

karşı kenarlardan ve aynı hizadan yeniden giriyor.
...
Bu karıncanın, ekranın sol alt köşesinden,

yatay uzaklığı 10 cm ve dikey uzaklığı 45 cm olan noktadan hareketle, ekranın,

ekranın aynı köşesinden

yatay ve dikey uzaklıkları sırasıyla 40 cm ve 15 cm olan noktaya varması için,

ekran üstünde en az kaç cm yol katetmesi gerekir?

MatematikciFM'den alıntı:

3)

I) Bütün tek sayılar (1 i çıkarttık) (49 ADET)

6,10,28,36,66,78 (6 ADET)

12,18,24,30,42,48,54,60,72,84,90,96 bulunur. (12ADET)

20,40,50,70,80,100 (6 ADET)

56, 98 (2 ADET)

88 (1 ADET)
49+6+12+6+2+1=76 sayı istenilen şartı sağlar.

sayın MatematikçiFM yukarıda bulduğunuz 76 sayının içerisinde 14,22,...94 gibi bazı sayılar yok 14=2+3+4+5 22=4+5+6+7 şeklinde ardişık sayıların toplamı olarak yazılabilir...

burada 1 den 100 e kadar sadece 2^x şeklindeki sayılar ardışık sayıların toplamı şeklinde yazılamazlar nedenini açıklayalım:
A sayısı 2 nin kuvveti olsun(A=2^r) ve ardışık sayıların toplamı olarak yazıldığını farzedelim yani;

A=x+x+1+x+2+...+x+k şeklinde k+1 tane ardışık sayının toplamı (x,k pozitif tamsayı)
burada sol taraf 2^rsağ tarafı şu ardışık sayı toplamını veren ilk terim son terim artış miktarı formülüyle düzenlersek

2^r=(2x+k)(k+1)/2 içler dışlardan
2^r+1=(2x+k)(k+1) şeklinde görürsek

şimdi k ya tektir yada çifttir
1)eğer k tek ise o zaman sağdaki parantezlerden(2x+k)ifadesi tek sayı ama sol taraf 2^r+1 bu olamaz çelişki
2)eğer k çift ise bu sefer yine sağdaki (k+1)ifadesi tek sayı ama sol taraf 2^r+1 buda çelişki
o halde 2 nin kuvvetleri ardışık sayıların toplamı olarak yazılamaz (2,4,8,16,32,64)
1 ide eklersek toplam 7 sayı o halde cevap 93 sayı
diğer sayıların yaptığınız işlemlerdende neden yazıldıklarını incelemişsiniz zaten

2.soruda tam anladığım bir nokta var.yani soru virgülden sonra hemen 9 belirdiğinimi iddaa ediyor ve ne kadar 9 la devam ettiğimi soruyor? yoksa virgülden sonra tüm ondalık kısmın içinde toplam ne kadar 9 var bumu?
ikincisi ise herhalde sonsuzdur:)

2. soru için yukarıda belirttiğim iki nokta dışında eğer bu sayının ondalık kısmının 9 ile başladığı ve bu rakamın kaçıncı rakam olduğu soruluyorsa şu şekilde bir çözüm olabilir

Bunun için verilen sayının tamsayı kısmının kaç rakamlı bir sayı olduğunun bulunması gerekir.Bu iş için 10 tabanlı logaritma kullanılır.(Zira,bir sayının rakam sayısının 1 eksiği, o sayının 10 tabanlı logaritmasının mantisidir, yani logaritmasının tamsayı kısmıdır

Şu halde önce (6+√35)¹⁹⁸⁰ sayısının tam sayı kısmının

rakam sayısını bulmak gerekiyor.√35=5.91607978…..olup

(6+5,91607978…)¹⁹⁸⁰=(11,91607978…)¹⁹⁸⁰ olduğundan,

10 tabanında logaritma alırsak
Log(11,91607978…)¹⁹⁸⁰
=1980.Log(11,91607978...)
=1980.(1,0761334…)
=2130,744137…buluruz.Demek ki A sayısının

tamsayı kısmının rakam sayısı 2130+1=2131 dır.Şu halde 2131 rakamdan sonra A sayının ondalık kısmı başlamaktadır.Ondalık kısmı ise 9 ile başlayacaktır.
yani 2132. rakam 9 ile başlamaktadır

bu 2.soruyla birkaçgündür uğraşıyodum yukarıda yazdığım çözüm sorunun cevabı değildi sadece eğer böyle olsaydının cevabıydı birkaç günlük uğraştan sonra önce yaklaşık 9 adedini buldum (1980 )ama tam sayının nasıl bulunacağını epey uğraştan sonra hesapladım
cevap virgülden sonra 2130 adet 9 olmalıdır
çıkmam gerek vaktimin olduğu bir zamanda çözümü yazacağım...

(6+√35)¹⁹⁸⁰ ile eşleniği olan (6-√35)¹⁹⁸⁰ sayılarının toplamının bir çift tamsayı cevabı olduğunu görmek zor değil bu kısmı sonra hatırlayacağız
ayrıca (6-√35)<0,1 ve 1980. kuvvetide küçüktür 1

(6-√35)¹⁹⁸⁰=(0,0839202169...)¹⁹⁸⁰ sayısında 10 tabanında logaritma alalım
=1980.log(0,0839202169...)
=1980.(-1,07613340233...)
=-2130,74413662238...
(6-√35)¹⁹⁸⁰ sayısı 1 den küçüktü 1 den küçük bir sayının 10 tabanında logaritmasının mantisi negatif çıkınca o sayının ondalık kısmında negatif mantis kadar 0 vardır
yani (6-√35)¹⁹⁸⁰ sayısının ondalık kısmında 2130 tane 0 vardır
sorudaki sayı ile bu eşleniği toplanınca çift tamsayı yapıyodu hatırlarsak o halde sorudaki
(6+√35)¹⁹⁸⁰ sayısının ondalık kısmındada 2130 tane 9 olmalıki toplamları ondalıktan kurtulup çift tam sayıya ulaşsın

aerturk39'den alıntı:

(6+√35)¹⁹⁸⁰ ile eşleniği olan (6-√35)¹⁹⁸⁰ sayılarının toplamının bir çift tamsayı cevabı olduğunu görmek zor değil bu kısmı sonra hatırlayacağız
ayrıca (6-√35)<0,1 ve 1980. kuvvetide küçüktür 1

(6-√35)¹⁹⁸⁰=(0,0839202169...)¹⁹⁸⁰ sayısında 10 tabanında logaritma alalım
=1980.log(0,0839202169...)
=1980.(-1,07613340233...)
=-2130,74413662238...
(6-√35)¹⁹⁸⁰ sayısı 1 den küçüktü 1 den küçük bir sayının 10 tabanında logaritmasının mantisi negatif çıkınca o sayının ondalık kısmında negatif mantis kadar 0 vardır
yani (6-√35)¹⁹⁸⁰ sayısının ondalık kısmında 2130 tane 0 vardır
sorudaki sayı ile bu eşleniği toplanınca çift tamsayı yapıyodu hatırlarsak o halde sorudaki
(6+√35)¹⁹⁸⁰ sayısının ondalık kısmındada 2130 tane 9 olmalıki toplamları ondalıktan kurtulup çift tam sayıya ulaşsın

Soruyu soran 10. sınıf öğrencisi öğretmenim :)

logaritma hakkında bilgim yok

bu sorunun log kullanılmadan çözümü olabileceğini pek sanmam
ayrıca soru lise yada bazı üniversite olimpiyatlarında sorulan sorulara benziyo o yüzden sadece 9.sınıf bilgisine hitap etmeyebilir
ayrıca bu tarz soru gönderen bunlarla ilgilenen bir öğrenci logaritmayı çalışıp bu soru için gerekli kısmını rahatlıkla anlayabilir diye düşünüyorum
umarım haklı çıkarım korkmazserkan

hocam benzeri bir soruyu sormuştum. Yanılmıyorsam yine siz çözmüştünüz. Tabi benim paylaştığım daha makul bir seviyedeydi. Logaritma cetveli ya da hesap makinesi gibi yardımcı elemanlar gerektirmiyordu çünkü virgülden sonraki bilmem kaçıncı basamak nedir diyodu ve ortaya çıkan 9 lardan cok geride bir yer soruldugundan cevap 9 bulunuyordu. Bu haliyle pek hoş bi soru olmadığını belirtmeliyim.