Koni soruları

1- Silindir biçimindeki kutunun içinde küre biçiminde birbirine eş üç top vardır. Toplar birbirlerine, silindirin tabanları ve yan yüzlerine içten teğettir. Silindirin hacmi 6 pi olduğuna göre kürelerin yarıçapı kaç cm'dir?

2- Bir dik koninin taban alanı yanal alanının beşte ikisine eşit olduğuna göre bu koninin yanal alanını oluşturan daire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?

3- Taban çevresi 360 pi m olan koni şeklindeki dağın zirvesine bir dağcı 100 pi m tırmanarak ulaşmaktadır. Buna göre dağın zirvesinin tabanına uzaklığı kaç metredir?

4- Barış ve arkadaşları bir izci kampında taban yarıçapı 300 cm olan dairesel alanlara koni biçiminde 1,5 m yüksekliğinde üç çadır kuracaklardır. Buna göre;
Barış ve arkadaşlarının kaç m brandaya ihtiyaçları vardır?

C-1) Toplar silindirin içine tam olarak oturmuş görünüyor. Yani silindirin tabanındaki dairenin çapı ile bir kürenin çapı aynı olduğu anlaşılıyor. Böyle olunca da üç kürenin çapları toplamı silindirin yükseliğine eşit olacaktır. r bir kürenin yarıçapı olmak üzere h=3.2.r => h=6.r olacaktır.

Silindirin hacmi pi.r².h=6.pi ise r².h=6 => r².6r=6 => r³=1 ve r=1 olacaktır.

C-2) Koninin açık şeklindeki daire dilimi ve tabandaki daireyi birlikte düşünerek alanlarını bularak verilen oran ile bir bağıntı oluşturalım.

Daire diliminiz alanı: pi.R².

α

360

Taban dairesinin alanı: pi.r²

şimdi verilen oran ile bir eşitlik kuralım.

2

5

pi.R².

α

360

=pi.r² (1. denklem)

Ayrıca taban dairesinin çevresi daire diliminin yayının uzunluğuna eşit olacağından buradan bir eşitlik daha yazacağız.

Taban çevresi: 2.pi.r

Daire diliminin yayının uzunluğu: 2.pi.R.

α

360

2.pi.R.

α

360

=2.pi.r (2. denklem)

Bu iki denklemde sadeleştirmeler yapılır ve yerine koyma yöntemi uygulanırsa α=144⁰ bulunur.

C-3) pi yi 3 alınması belirtilmemiş. Bu yapılmazsa çok küsüratlı bir sonuç çıkar.

Taban çevresinden yarıçapı şöyle bulunur. 360.pi=2.pi.r => r=180 m

100.pi metre gittiği yer koninin yanal yüzeyindeki uzunluk.

Yarıçapı, yanal yüzeydeki katettiği mesafe ve yüksekliği bir dik üçgen oluşturacağından pisagordan

(100.pi)²=180²+h²

300²=180²+h² ise buradan 240 metre bulunur.

Koni şeklinde bir çadırın yanal alanını bulup 3 ile çarpmamız gerekmektedir.

Yanal alanı bulmak için yanal daire diliminin açısı bulmak gerekiyor. Çadırın yükseliği, yanala yüzey uzunluğu ve tabana yarıçapı bir diküçgen oluşturmaktadır.

Buna göre 3²+(1,5)²=y² den y dediğimiz yanal yüzey uzunluğu y=3√5/2 çıkmaktadır.


Bu yanal yüzey uzunluğu dediğimiz yanal yüzeyde bulunan daire diliminin yarıçapıdır.


taban çevresinin yanalda bulunan daire diliminin yayının uzunluğuna eşit olmasından

2.pi.3=2.pi.(3√5/2).(α/360) dan işlemler yapılırsa α=144√5 derecelik bir açı çıkmaktadır.

Şimdi yanal alanda bulunan daire diliminin alanı pi.(3√5/2)².(144√5/360) dan 27√5/2 çıkmaktadır.

Bu çadırdan 3 tane olacağından 3.27√5/2=81√5/2 m²