Maksimum, Minimum Problemleri

1.soru
(m+1)x²-3x+m²-m+2=0 eşitliğini sağlayan x değerlerinin çarpımı en büyük değeri aldığında m kaç olur?

2.soru
x²+(2-m)x+1+m=0 denkleminin kökleri x₁ve x₂dir.
Buna göre x₁² + x₂² toplamının en küçük değerini alması için m kaç olmalıdır?

1.
bu soru arızalı , m -1'e giderken kökler çarpımı olan (m²-m+2)/(m+1) ifadesi de sonsuza gider yani bu denklemi sağlayan x değerlerinin çarpımının max değeri yoktur.
m~-1 için bakılırsa ∆>0 olduğu da görülür

2.
x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2.x₁.x₂
=(m-2)²-2(m+1)
=m²-6m+2 , bunun min olması için türevi sıfır olmalı (ya da tepe noktasına bakarız)
m=3 bulunur
tabi bu durumda da ∆=1-4.4=-15 oluyor yani reel kök yok
denklem m=3 noktasına göre simetrik olduğundan ∆ nın pozitif olduğu m=3 e en yakın noktayı buluruz

b²-4ac=(2-m)²-4.1.(m+1)≥0 → m²-8m≥0 → m≤0 veya m≥8 , m=0 noktası m=3 e en yakın nokta öyleyse m=0 dır deriz ama eminim cevap m=3 verilmiştir.

teşekkürler cevaplar 1.soru:-3 , 2.soru:3

ilk soruda da cevap kesin -3 verilmiştir diyecektim :)
bi de bu sorular aynı testte arka arkayaysa muhteşem kombinasyon tamamlanmış demektir.

(m²-m+2)/(m+1) in max değerini bulmak için türev alınıp sıfıra eşitlenirse
m²+2m-3=0 , m=-3 ve m=1
m=1 de local minimum , m=-3 te de local max vardır.
ama bunlar local değerlerdir fonksiyon birçok noktada bu değerlerin üstünde ve altında değerler alır hatta local max değeri local min değerinden bile daha az :)

mesela cevap olarak verilen m=-3 değerinde kökler çarpımı -7 bulunuyor oysa m=0 alınsa
x²-3x+2=0 denkleminin kökleri çarpımı -2.-1=2 olur ve daha büyüktür.

Evet dediğiniz gibi ben de yaptım öyle çıktı. Peki şimdi soruda mı hata var matematikde mi?:)

bence matematikte hata var , bi el atıp düzeltelim :)

şaka bi yana soruda da hata va diyemeyiz bence soruyu üretende hata var. local ile global arsındaki kalın çizgiyi göremiyor.
soruda sorulduğu gibi m=-3 değeri -3 ün yakınındaki en büyk değeri oluşturur (mesela -3,5 tan daha büyüktür) ama bu -3 ün tüm fonksiyonun en büyük değerini aldığı yer anlamına asla gelmez. grafik ekleyelim belki yardımcı olur.

(m²-m+2)/(m+1)

Grafik için teşekkürler. Peki bu local ve global ne demek?

grafiğe baktığında m=-3 te bir tepe noktası görüyosun orası local yani yerel yani kendi komşuluğunda max noktadır.
benzer şekilde m=1 de de bir çukur görülüyor. orası da local min.

global tüm tanım aralığı için en büyük değer olduğunda verilen ad oluyor mesela bu fonksiyonun global min veya max değeri yoktur (ya da bunlar sonsuzdur diyebiliriz)

mesela atıyorum şu fonksiyona bakarsak soldaki çukur global min. değeridir çünkü fonksiyon hiçbir noktada daha küçük bir değer alamıyor , ortadaki tepe local max , sağdaki çukur local min. , fonksiyonun global max değeri ise yoktur ya da sonsuzdur.

Hıı şimdi anladım teşekkürler