inteGral soruları

1)

∫

1

0

5^xdx

2)

∫

3

1

x+1

x²+2x

dx

3)

∫

2

1

1

xlnx

dx

integralinde x=e^u dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integralden hangisi elde edilir?

C-1) ∫5^xdx = 5^x/ln5

∫

1

0

5^xdx = [5¹/ln5 ]-[5⁰/ln5]=4/ln5

C-2)

x+1

x²+2x

=

x+1

x(x+2)

=

1

2x

+

1

2.(x+2)

∫

x+1

x(x+2)

=

1

2

∫

1

x

+

1

2

∫

1

x+2

∫

x+1

x(x+2)

=

lnx+ ln(x+2)

2

∫

3

1

x+1

x²+2x

=

ln3+ ln5

2

−

ln1+ ln3

2

=

ln5

2

3)

x=e^u
u=lnx
x=1 ise u=0
x=2 ise u=ln2
dx=e^udu

∫

2

1

dx

x.lnx

=

=

∫

ln2

0

e^u du

e^u.u

=

∫

ln2

0

du

u

=lnu|^ln2₀


=ln(ln2)-ln0
Burada iş karışıyor. ln0 ne olacak bilmiyorum?

2)
Öğretmenim şöyle de çözebilirdik.
x²+2x=u
(2x+2)dx=du
2(x+1)dx=du
(x+1)dx=du/2

x²+2x=u
x=1 ise u=3
x=3 ise u=15

=(1/2).

∫

15

3

du

u

=(1/2).[lnu|¹⁵₃]
=(1/2).(ln15-ln3)
=(1/2).ln(15/3)
=(1/2).ln5