|x²-(m-2)x+3m-11|fonksiyonunun daima türevli olması için m hangi aralıkta olmalıdır?

p(x)=ax³+2x²-bx+4 polinomu (x-2)² ile tam bölünebildiğine göre a.b çarpımı kaçtır?

1. Bir mutlak değer fonksiyonunun sürekli türevlenebilir olması için kırılma noktası olmamalı, yani |f(x)| için daima f(x)>0 veya daima f(x)<0 olmalıdır (bu soruda başkatsayı 1 olduğu için daima f(x)>0 olmalıdır). Bunun için de f(x) fonksiyonunun diskriminantı < 0 olmalıdır.

D= (m-2)^2-12m+44=m^2-16m+48=(m-4)(m-12)

Buna göre D<0 olması için m∈(4,12) olmalıdır.

2. p(x)=ax³+2x²-bx+4 polinomu (x-2)^2 ile bölünebildiğine göre hem kendi hem de türevi x=2 için sıfır olmalıdır. Buna göre

8a+8-2b+4=0 => 4a-b=-6

p'(x)=3ax^2+4x-b => 12a+8-b=0 => b=12a+8 => 4a-12a-8=-6 => a=-(1/4) => b=5

a*b=-(5/4)