türev sorularım

altiboyut'den alıntı:

f(x)= x² , x<0
0 , x=0
x , x>0 ve

f(x)= y=kökx ,x<1
1 ,x=0
2x-1 ,x>1
fonksiyonlarının belirtilen noktalarda türevi var mıdır?

Anlayabildiğim kadarıyla bunlar parçalı fonksiyonlar ve belirtilen noktalardan kastın parçalanma noktaları.

Parçalı bir fonksiyonun (veya herhangi bir fonksiyonun) bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve sağdan türevi ile soldan türevinin birbirine eşit olması gerekir.

Derin bir inceleme yapmaya gerek kalmadan görünmektedir ki fonksiyonlar süreklidir. Bunu görmek için: İlk fonksiyonda x=0 yazdığımızda üç parçada da f(0)=0 sonucunu bulmaktayız. İkinci fonksiyonda x=1 yazdığımızda üç parçada da f(1)=1 olmaktadır (ikinci fonksiyonun parçalanma noktasının 1 olduğunu, sıfırın yanlışlıkla yazıldığını varsayıyorum).

Yine parçaların türevlerini alırsak, birinci fonksiyonun üçüncü parçasının her değer için 1 değerini verdiğini görürüz. Halbuki diğer parçalar x=0 için 0 değerini vermektedirler. Buna göre birinci fonksiyon x=0 noktasında türevlenemez.

İkinci fonksiyona baktığımızda yine üçüncü parçanın her değer için 2 sonucunu verdiğini görürüz. Halbuki ikinci parça 0 değerini vermektedir. Öyleyse bu fonksiyon da bu noktada türevlenemez.

altiboyut'den alıntı:

hocam yalnız ilkindeki üssü 2/3

O halde, parantezleri doğru yerlerde kullanmaya özen göster.

f(x)=x^2/3 için:

[f(1)-f(0)]/(1-0)=(1/3)/1=1/3

f'(c)=(2/3)c^-1/3=1/3 => c=8

altiboyut'den alıntı:

lim

x→0

(ln2x-ln(x+1)) türevi?

Bu soruda limiti mi istiyoruz, türevi mi?

ömer_hoca'den alıntı:

Bu soruda limiti mi istiyoruz, türevi mi?

çalışma kağıdımda türev yazıyor hocam..

altiboyut'den alıntı:

lim

x→0

(ln2x-ln(x+1)) türevi?

Bu soruda ne denmek istediğini anlayamadım. Yani x -> 0 halinde bir belirsizlik oluşsa L'Hospital yöntemi ile (türev alarak) limit isteniyor diyeceğim fakat öyle de değil. İstenen limit sonsuza ıraksıyor. Verilen bir fonksiyon da değil ki türevi alınsın, fonksiyon değil diyorum notasyondan ötürü. Ama fonksiyonmuş gibi türevini alalım.

f(x)=ln2x-ln(x+1) => f'(x)=(2/x)-(1/(x+1))=(2x+2-x)/[x(x+1)]=(x+2)/[x(x+1)]

Ama bu soru bunu sormuyor bence.