S-1) ∫

4x³-2x²+1

8x⁴

dx=

S-2) ∫

(x²-1)³

x³

dx=

S-3) ∫

x+1

√x

dx=

S-4) ∫ x.cos3x dx

S-5) ∫ e^2x .sin3x dx

yazım zorluğundan kaynaklı olarak şöyle yaparsan çıkar diyip wolfram linklerini de eklesem sanırım sorununu çözmüş oluruz
extra açıklanması greken yer olursa belirtirsen daha detaylı açıklamaya çalışırız.

1.
kesri tek tek (4/8x)-(2/8x²)+(1/8x⁴) şeklinde parçalayıp tek tek integraler alınır ve sonuçlar toplanır bunların tek tek integrallerinde bir sıkıntı yaşamazsın heralde
cevap (1/24).(-1/x³+6/x+12lnx)

2.
(x²-1)³ açılır ve x⁶-3x⁴+3x²-1 bulunup aynı ilk sorudaki gibi tek tek parçalamıp integraller alınır ve toplanır
sonuç

3.
yine birinci sorudaki gibi bu kesir √x+1/√x şeklinde ayrılır ve parça parça integral alınıp toplanır
sonuç (2/3)x√x+2√x bulunur

4.
burada kısmi integrasyon uygularız
∫udv=uv-∫vdu olduğunu biliyoruz
cos3x i dsin3x şelinde yazdığımızda bize sorulan integralin
∫(x/3)dsin3x olduğunu görüyoruz kısmi integrasyon uygulayınca
=(1/3).[x.sin3x-∫sin3xdx]
=(1/3).(xsin3x-(1/3)(-cos3x))=(1/9)(3.xsin3x+cos3x)

5.
integralin değerne S diyip
burada da de^2x=e^2x.2.dx olmasından faydalanıp e^2x i içeri atarsak ve yine 4. sorudaki gibi kısmi integrasyon uygularsak , burada 2 kere uygulayacağız , 2. uygulamanın sonunda

S=(1/2).(e^2x.sin3x)-(3/4).(e^2x.cos3x)-(9/4).S buluyoruz
yani
(13/4).S=(1/2).e^2x.(sin3x-(3/2).cos3x) buradan da
integralin değeri=S=(1/13).e^2x.(2.sin3x-3.cos3x) bulunur


tabi +c leri falan da sen eklersin artık