Türevv

1. f(x)=x² parabolüne dışındaki A(0,-4) noktasından çizilen teğetlerden birinin denklemi nedir? (y=4x-4)

2.y=x²-x y=x²-3x parabollerinin ortak teğetlerinin denklemi nedir? (y=-2x-1/4)

3.y=-x²+4 parabolüne çizilen teğetler (0,6) noktasından geçiyor. Teğetlerin parabole değdiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?(2√2)

1. f(x)=x² parabolüne dışındaki A(0,-4) noktasından çizilen teğetlerden birinin denklemi nedir? (y=4x-4)
parabole değdiği nokta x,x² olsun
x apsisli noktada eğim 2x olur

ayrıca noktalar arasındaki doğrunun eğiminden ikinci bir eğim denklemi daha bulunur.aynı eğim olduğundan denklemler eşitlenir.

2x= (x²+4)/(x)

2x²=x²+4

x₁=2 ve x₂=-2 çıkar apsis değerleri y değerleri ise y₁=4 ve y₂=4

m₁=4 ve m₂=-4

doğru denklemleri

y=4x+n (2,4) noktası sağlar. n=-4 çıkar denklem y=4x-4

y=-4x+n (-2,4) noktası sağlar. n=-4 çıkar y=-4x-4 denklemi elde edilir

3-)

ilk soruyla aynı mantık

parabol (a,-a²+4) noktasından geçsin bu nokta aynı zamanda doğruyla parabolün teğet olduğu nokta olsun.

türevden -2x bulunur x yerine a yazılırsa -2a eğimi çıkar.bu eğim aynı zamanda iki nokta arasındaki doğrunun eğimine eşittir.

-2a=(6+a²-4)/(0-a)

2a²=2+a²

a²=2

a₁=-√2
a₂=√2

aralarındaki uzaklık 2√2 br bulunur

NOT= dikkat edersen ordinatları aynı aradaki mesafe apsisler arasındaki mesafedir.

2.soru
ortak teğerleri varsa bu teğetlerin eğimleri eşittir.
1.durum
Teğet, bu iki parabola aynı noktadan teğet olabilir. Her iki parabolün 1. türevini alıp birbirlerine eşitlenirse sonuç çıkar.
2x-1=2x-3 buradan 1=3 gibi bir çelişki çıkar. Demek ki bu teğer, parabollere aynı noktadan teğet değil.
2. durum
Teğer, parabollere farklı noktalardan teğet olsun. x=a ve x=b noktalarından teğet olsunlar. Teğer bir tane olduğu için eğimleri eşittir.
Yine 1. türevi al ve birbirine eşitlenir.. Fakat bu sefer x yerine a ve b yazılacak.
2a-1=2b-3=m olsun. Yani teğetin eğimi m olsun.
2b-2a=2
b-a=1
x²-x denkleminde x=a için y=a²-a ve x²-3x denkleminde x=b için y=b²-3b gelir.
Teğetin denklemi y=mx+n olsun. x=a için a²-a ve x=b için b²-3b gelmeli.
a²-a=m.a+n
b²-3b=m.b+n birbirlerinden çıkar.
b²-a²-3b+a=m(b-a)
(b-a)(b+a)-3b+a=m(b-a) b-a=1'den
b+a-3b+a=m
2a-2b=m buradan
m=-2 gelir.
2a-1=m=> 2a-1=-2 a=-1/2 gelir.
a²-a=m.a+n burada m=-2 ve a=-1/2 yaz ve n'yi bul.
1/4+1/2=(-2)(-1/2)+n
3/4=1+n
n=-1/4 gelir.
Teğet denklemi y=-2x-1/4'tür

Aklıma daha kısa yol gelmedi.