Türev / integral

Soru 1)

∫ ln ( x+2 )dx İntegrali hangisine esittir?

Cevap: ( x+2 ) [ ln|x+2| - 1] + c

Soru 2)
f(x) = x³ + 3 egrisine cizilen teget y eksenini A(0,-1) noktasinda kesiyor.
Buna gore tegetin degme noktasinin apsisi kactir?


Soru 3)
f(x)=mx³ + nx² + rx + 5 fonksiyonu azalan bir fonksiyon olduguna gore hangisi dogrudur?

Cevap( m.r > 0 )



Soru 4)
y²=x Egrisi uzerinde ve A(0,3) noktasina en yakin noktanin apsisi kactir?



Soru5)
y=x³ + 3mx² + x + 1 Egrisinin donum noktasının y= x - 15 dogrusu uzerinde olmasi icin m kac olmalidir ?


Tesekkurlerr

Soru 1)
∫ ln ( x+2 )dx İntegrali hangisine esittir?

ln ( x+2 )=u
dx=dv dersek x=v , dx/x+2=du elde edilir.
∫u.dv = u.v-∫v.du biliyoruz
=x.ln(x+2)-∫(x/x+2)dx
=x.ln(x+2)-∫[1-(2/x+2)]dx
=x.ln(x+2)-x+2ln(x+2)+c
=(x+2)ln(x+2)-x+c

Soru 3)
f(x)=mx³ + nx² + rx + 5 fonksiyonu azalan bir fonksiyon olduguna gore hangisi dogrudur?
Türevini alırsak ;
3mx²+2nx+r azalan olduguna göre;
3mx²+2nx+r<0 her zaman 0'dan kücükse denklem ozaman
∆<0 diyebiliriz.

4n²-4.3m.r<0
4n²<12m.r
m.r>n²/3 , n²/3 pozitif ise
m.r>0 diyebiliriz.

2.
teğetin değme noktası (x,x³+3) olsa
teğetin eğimi 3x² olacaktır
teğetin eğimini iki nokta üzerinden hesaplarsak 3x²=(x³+3--1)/(x-0) → 2x³=4 → x=³√2 bulunur

3.
hangisi dediğine göre tüm seçeneklerin verilmesi lazım

fonksiyon azalan olduğuna göre türev negatiftir
f'=3mx²+2nx+r<0 → delta<0 → (2n)²-4.3m.r<0 → 0≤4n²<12m.r , buradan m.r>0 olduğu görülüyor ama diğer seçenekler için durum nedir bilmiyoruz.

4.
x ile y lerin yerini değiştirelim kafamızdaki kalıplara daha uygun bir şekil olsun.

'den alıntı:

y=x² nin (3,0) noktasına en yakın noktasının ordinatı kaçtır?

eğrinin en yakın noktadaki teğeti (3,0) noktasına birleştiren doğruya dik olmalı ya da başka deyişle bu noktadaki normal (3,0) dan geçmeli
aranan nokta (x,x²) olsa
(3,0) noktasına birleştiren doğrunun eğimi = (x²-0)/(x-3)
teğet eğimi = türev= 2x
bunların çarpımı = 2x³/(x-3)=-1 olmalı
2x³=3-x , 2x³+x-3=0 , bu denklem için de x=1 in bir kök olduğu görülür (çok istiyorsak diğer kökler için eldeki ifade (x-1) e bölünebilir)
ordinat da y=x²=1 bulunur

5.
dönüm noktası için ikinci türeve bakarız
f''=6x+6m=0 → x=-m bulunur
ifadede yerine x yerine -m , y yerine de x-15 yazılırsa
-m-15=-m³+3m³-m+1
-16=2m³ → m³=-8 ve m=-2 bulunur.