Soru 1)

∫ ln ( x+2 )dx İntegrali hangisine esittir?

Cevap: ( x+2 ) [ ln|x+2| - 1] + c

Soru 2)
f(x) = x³ + 3 egrisine cizilen teget y eksenini A(0,-1) noktasinda kesiyor.
Buna gore tegetin degme noktasinin apsisi kactir?


Soru 3)
f(x)=mx³ + nx² + rx + 5 fonksiyonu azalan bir fonksiyon olduguna gore hangisi dogrudur?

Cevap( m.r > 0 )



Soru 4)
y²=x Egrisi uzerinde ve A(0,3) noktasina en yakin noktanin apsisi kactir?



Soru5)
y=x³ + 3mx² + x + 1 Egrisinin donum noktasının y= x - 15 dogrusu uzerinde olmasi icin m kac olmalidir ?


Tesekkurlerr

Soru 1)
∫ ln ( x+2 )dx İntegrali hangisine esittir?

ln ( x+2 )=u
dx=dv dersek x=v , dx/x+2=du elde edilir.
∫u.dv = u.v-∫v.du biliyoruz
=x.ln(x+2)-∫(x/x+2)dx
=x.ln(x+2)-∫[1-(2/x+2)]dx
=x.ln(x+2)-x+2ln(x+2)+c
=(x+2)ln(x+2)-x+c

Soru 3)
f(x)=mx³ + nx² + rx + 5 fonksiyonu azalan bir fonksiyon olduguna gore hangisi dogrudur?
Türevini alırsak ;
3mx²+2nx+r azalan olduguna göre;
3mx²+2nx+r<0 her zaman 0'dan kücükse denklem ozaman
∆<0 diyebiliriz.

4n²-4.3m.r<0
4n²<12m.r
m.r>n²/3 , n²/3 pozitif ise
m.r>0 diyebiliriz.

2.
teğetin değme noktası (x,x³+3) olsa
teğetin eğimi 3x² olacaktır
teğetin eğimini iki nokta üzerinden hesaplarsak 3x²=(x³+3--1)/(x-0) → 2x³=4 → x=³√2 bulunur

3.
hangisi dediğine göre tüm seçeneklerin verilmesi lazım

fonksiyon azalan olduğuna göre türev negatiftir
f'=3mx²+2nx+r<0 → delta<0 → (2n)²-4.3m.r<0 → 0≤4n²<12m.r , buradan m.r>0 olduğu görülüyor ama diğer seçenekler için durum nedir bilmiyoruz.

4.
x ile y lerin yerini değiştirelim kafamızdaki kalıplara daha uygun bir şekil olsun.

Alıntı:

---

y=x² nin (3,0) noktasına en yakın noktasının ordinatı kaçtır?

---

eğrinin en yakın noktadaki teğeti (3,0) noktasına birleştiren doğruya dik olmalı ya da başka deyişle bu noktadaki normal (3,0) dan geçmeli
aranan nokta (x,x²) olsa
(3,0) noktasına birleştiren doğrunun eğimi = (x²-0)/(x-3)
teğet eğimi = türev= 2x
bunların çarpımı = 2x³/(x-3)=-1 olmalı
2x³=3-x , 2x³+x-3=0 , bu denklem için de x=1 in bir kök olduğu görülür (çok istiyorsak diğer kökler için eldeki ifade (x-1) e bölünebilir)
ordinat da y=x²=1 bulunur

5.
dönüm noktası için ikinci türeve bakarız
f''=6x+6m=0 → x=-m bulunur
ifadede yerine x yerine -m , y yerine de x-15 yazılırsa
-m-15=-m³+3m³-m+1
-16=2m³ → m³=-8 ve m=-2 bulunur.