Integral alma kuralları

çözümleri açıklayıcı olursa sewinirim :))

∫

90

45

1+cot²x/1+cotx dx =? cevap:ln2

∫

90

0

dx/cot³x u=cosx dönüşümü yapılırsa integral?


f(x) polinom fonksiyonu için,
f^'(x)+∫f(x) dx =x⁴+13x²+2 ise f(1)=?


f(x) polinom fonksiyonu için,
f(x)+∫f(x) dx =x³-5x+1 ise f(2)=?

f(X)=∫sin³x.cos⁵(2x) dx ise f(pi/2)-f(3pi/2) =?

1)

u=1+cotx olsun. du = - (1+cot²x) dx olur.
x=45^o için u = 2 ve
x=90^o için u = 1 dir. Dolayısıyla

∫

pi/2

pi/4

(1+cot²x)dx

1+cotx

=

∫

1

2

-du

u

=-ln1+ln2=ln2

2)

u=cosx olsun. du = -sinx dx olur.
x=0 için u = 1 ve
x=90^o için u = 0 dır. Dolayısıyla

∫

pi/2

0

dx

cot³x

=

∫

pi/2

0

sin³x dx

cos³x

=

∫

pi/2

0

(1-cos²x)sinx dx

cos³x

=

∫

0

1

(1-u²)(-du)

u³

=

∫

1

0

(1-u²)du

u³

3) Verilen ifadenin türevini alırsanız f''(x)+f(x)=4x³+26x olur. Bunun sağlayan f(x) polinomu 3. dereceden olmak zorundadır. f(x)=ax³+bx²+cx+d yazdıktan sonra polinom eşitliğinden a, b, c, d bulunur. f(1)=a+b+c+d.

4) istenen ifade aslında

∫

pi/2

3pi/2

sin³x cos⁵(2x)dx tir.

Bu integralde sin³x=sinx (1-cos²x) ve cos(2x)=2cos²x-1 yazdıktan sonra u=cosx dönüşümü yapılırsa integralin alt limiti 0 ve üst limiti de 0 olacağı için istenen ifade 0 dır.