Polinom - Eşitsizlik- Denklem

1-) P(x) polinomunun x - 1/4 ile bölümünde bölüm B(x)'tir. B(x) pol. x-2 ile böl. kalan 12'dir. Buna göre,
P(x) polinomunun 4x-1 ile bölümünde edilen bölümün x-2 ile bölümünden kalan kaçtır? (3)

2-) P(x)=x¹²+x⁸+2x⁴-1 pol. x²-x+1 ile bölümünden kalanı nedir? ( -x-1)

3-)x²+2x+1/x² +2/x -13 = 0 denkleminin köklerinden biri x₁ olduğuna göre x₁ + 1/x₁ ifadesi en az hangi değeri alabilir? (D)
A) -2 B) -3 C) -4 D) -5 E) -6

4-) f(x)<0 , g(x)>0 sistemlerinin çözüm kümesi A ise, aşağıdakilerden hangisinin çözüm kümesi kesinlikle A olur? (E)
A) f(x).g(x)<0
B) f(x)-g(x)<0
C) f(x)/g(x)<0
D) f(x)+g(x)>0
E) f(x) / √g(x)<0

5-) x²-(x-2)m+3 ifadesinin değeri her x gerçel sayısı için 3 den büyük olduğuna göre, m nin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır? (7)

C-2

x²-x+1=0 eşitliğini yazarız.

Her tarafı x+1 ile çarpalım,

(x+1)(x²-x+1)=0
x³+1=0
x³=-1

x¹²=(x³)⁴=1
x⁸=(x³)².x²=x²
2x⁴=2x³.x=-2x

x¹²+x⁸+2x⁴-1=1+x²-2x-1=x²-2x

x²-x+1=0 ise x²=x-1

x²-2x ifadesinde yerine yazarsak,
x-1-2x=-x-1 olur.

C-1

P(x) = (x-1/4).B(x) şeklinde yazalım.B(2)=12 verilmiş.
P(2)=7/4.12
P(2)=21 bulunur.

P(x) = (4x-1).Q(x)
Q(2) arıyoruz
P(2)=7.Q(2)

P(2)= 21
21=7.Q(2)
Q(2)=3 bulunur.

3-)x²+2x+1/x² +2/x -13 = 0 denkleminin köklerinden biri x1 olduğuna göre x1 + 1/x1 ifadesi en az hangi değeri alabilir?
C.3
x²+1/x²+2(x+1/x)=13
(x+1/x)²-2+2(x+1/x)=13
(x+1/x)²+2(x+1/x)=15
x+1/x=a
a²+2a-15=0
(a+5)(a-3)=0
a=-5 veya a=3 olmalı. Küçük değer sorulmuş, cevap -5 olur.

4-) f(x)<0 , g(x)>0 sistemlerinin çözüm kümesi A ise, aşağıdakilerden hangisinin çözüm kümesi kesinlikle A olur? (E)
A) f(x).g(x)<0
B) f(x)-g(x)<0
C) f(x)/g(x)<0
D) f(x)+g(x)>0
E) f(x) / √g(x)<0

C.4
E seçeneğine bakarsak; f(x) / √g(x)<0 olması için g(x)>0 ve f(x)<0 olmalı. Başka türlü hiçbir durumda bu eşitsizlik sağlanmaz. Diğer şıkların bazılarında g(x)>0 ve f(x)<0 değeri için eşitsizlik sağlanabilir. Ancak o eşitszilikleri sağlayan farklı durumlar da bulunabilir. O yüzden o şıklarda çözüm kümeleri A'yı kapsar; ancak A olmaz.

Teşekkürler herkese.