Türev Kabusu 3 :D

Öncelikle aşağıdaki soruya açıklayıcı bi cevap alamadım https://img33.imageshack.us/img33/516/mat07082012.jpg

Ayrıca f(x)=kökx g(x)=(xüssü4)+x+1 h(x)=2x-3 ise (f.g.h)'(1)=?

İlk soruda kapalı diferansiyelleme kullanalım:
x²-y²=16
2x-2y.y'=(16)'=0
-2y.y'=-2x

y'=

-2x

-2y

=

x

y

y'=x/y ise y'' ı bölme kuralı* ile bulabiliriz:

y''=

y-x.y'

y²

y' ı yerine yazarsak (y-x(x/y))/y² elde ederiz. Bu da ((y²-x²)/y)/y²) 'ye eşittir.. Buradan da y''=(y²-x²)/y³ olur. Ayrıca y²-x²=-(x²-y²)=-16'dır. Yani y''=(-16)/y³ olur.
Daha sonra bulduğumuz değerleri soruda yerine yazalım:

1

x

x

y

+

1

y²

y²-x²

y³

elde ederiz. Buradan da

1

y

-

16

y⁵

olur.
Geri kalanı denklem çözme olduğundan geçiyorum, gerekirse açıklayabilirim.
*Bölme kuralı: (u/v)'=(u'v-uv')/v²
İyi günler.

Ayrıca f(x)=√x g(x)=x⁴+x+1 h(x)=2x-3 ise (f.g.h)'(1)=?
Çarpım kuralı kullanacağız. Önce kuralımıza bakalım:
(a.b.c)'=a'.b.c+a.b'.c+a.b.c'
Bu kurallar esnektir, istediğimiz kadar fonksiyon için genişletebiliriz.
Kuralda yerine yazmadan önce türevlerimizi hesaplayalım:
√x=x^1/2 ise (√x)' = 1/2(x^-1/2)=1/2(1/√x) olur.
(x⁴+x+1)'=4x³+1
(2x-3)'=2
Bunları yerine yazarsak;

1

2√x

(x⁴+x+1).(2x-3)+√x.(4x³+1).(2x-3)+√x.(x⁴+x+1).(2)

elde ederiz. Burada işlemleri yapabiliriz; ama x yerine 1 yazıp çözebiliriz.
İyi günler.

x2-y2=16
2x-2y.y'=(16)'=0 burda yaptığının işlemde neyin türevini alıyosun?

Kapalı diferansiyelleme(implicit differentiation) yapılıyor. Elimizde eşitlik varsa her terimin tek tek türevini alabiliriz, bu sayede eşitlik bozulmaz.
Orada x², y² ve 16'nın türevlerini tek tek aldım. Türevler x'e göre olduğu için bağımlı değişken olan y'nin türevi bir de y' ile çarpılıyor.
İyi günler.

. Türevler x'e göre olduğu için bağımlı değişken olan y'nin türevi bir de y' ile çarpılıyor. bunu anlamadım :D

Fonksiyonumuzu düzenleyelim:
x²-y²=16
x²-16=y²
±√x²-16=y oldu.
Burada y'nin değeri x'in değerine göre değişir, dolayısıyla y'ye bağımlı değişken diyoruz.
Kapalı diferansiyellemede bağımlı değişkenler önce bağımsızmış gbi türevleri alınır, daha sonra kendisinin türevi ile çarpılır.
y=x²+y gibi bir örnek düşünelim:
dy/dx=(x²)'+(y)' dir. x'e göre türev aldığımızdan x²'nin türevini rahatlıkla alabiliriz. Daha sonra y'yi sanki bağımsız değişkenmiş gibi türevini alıp, kendisinin türevi ile çarparız:
dy/dx=2+1.y' olur.
İyi günler.