ikinci dereceden denklemler ile ilgili soru

( x + 3 ) . (x + 4 ) . (x + 5 ) . (x + 6 ) = 8 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı kaçtır? teşekkürler şimdiden

Bu soruyu bi yerden hatırlıyorum ama nerden çıkartamadım

Bu denklem sıfıra eşit olsa denklemi sağlayan x reel sayıların toplamı -18 oluyor. Fakat eşit olduğu her pozitif tam sayısı için denklemi. sağlayan x reel sayıların toplamı bunun yarısı -9 oluyor. Sonuçta fakat bunu açıklayamadım benim çözümde uzun ve kafa karıştırıcı. Diğer hocalarımız bakarsa muhakkak kısa ve öz bir çözümü vardır.

Bu soruda sanırım küçük ifadeye yada sayıları azaltacak bir değere a diyorduk daha önce benzer bir soru çözmüştüm

(x+3).(x+6) . (x+4).(x+5)=8
https://chart.apis.google.com/chart?...0%5Cright)%3D8

https://chart.apis.google.com/chart?...5Ccdot%20x%3Dtolsun;
https://chart.apis.google.com/chart?...0%5Cright)%3D8
https://chart.apis.google.com/chart?...0%5Cright)%3D8
https://chart.apis.google.com/chart?...%20t%2B352%3D0

burda kökleri bulmakla uğraşmayalım;
kökler t1 ve t2 olsun;

buna göre;
https://chart.apis.google.com/chart?...0x%3Dt_%7B1%7D ve https://chart.apis.google.com/chart?...0x%3Dt_%7B2%7D

birinci ve ikinci denklemin ayrı ayrı kökler toplamı bulunup toplanırsa tüm köklerin toplamı bulunmuş olur.

kökler toplamı=-b/a=-9 her iki denklem içinde geçerlidir.
buna göre tüm kökler toplamı=-9-9=-18 olur diye düşünüyorum

Hocam şu bulduğunuz t²+38t+352=0 dan gidersek;
t²+38t+352=0=(t+16)(t+22)=0
t=x²+9x demiştiniz o zaman denklem;
(x²+9x+16)(x²+9x+22)=0 olur.
Birinci denklemde reel kökler toplamı -9 dur. İkinci denklemde diskriminant sıfırdan küçük olduğu için reel kök yoktur. Bu yüzden reel kökler toplamı -9 dur.

Alp kardeş ben de senin bulduğunu buldum.

Fakat soruda ilk mesajda yazdığım gibi kökler toplamının 0 a eşitmiş gibi düşünüp sonucun 0 a eşit olanın yarısı çıkmasının bi açıklaması olmalı.çünkü bütün a.(a+1)(a+2)(a+3)=k (k>0) tipindeki denklemlerin kökler toplamını denediğimde bütün sonuçlar a.(a+1)(a+2)(a+3)=0 denkleminin kökler toplamının yarısı çıkıyor.

çözüm yapılmış ama ben de yazayım

ardışık 4 sayının çarpımının 1 fazlası (soruda reel demiş ama farketmez) her zaman ortadakilerin çarpımının 1 eksiğinin ya da dıştakilerin çarpımının 1 fazlasının karesi olur.

t=(x+4) denirse sorulan ifade de eşitliğin her iki tarafına 1 eklenirse , (t²+t-1)²=9 bulunur
t²+t-1=-3 için t reel olamaz
t²+t-1=3 için t²+t-4=0 buradan t lerin toplamı t₁+t₂=-1 olur
x₁=t₁-4
x₂=t₂-4
olduğundan x₁+x₂=-1-8=-9 bulunmuş olur