Diziler (Zor)

sa
sınavda çıkabilecek bazı sorular paylaştı hocamız, çözemediklerimi size sormak istedim. :)

1) A,B,C,D,E,F farklı rakamlar belirtmek üzere ilk 5 terimi A,B,C,BD,CE,FF olan bir aritmetik dizinin olamayacağını gösteriniz.

2) Bir küpün köşelerine tam sayılar en çok kaç köşedeki sayı bu köşeye bir ayrıtla bağlanan üç köşedeki sayıların aritmetik ortalamasından küçük olacak şekilde yerleştirilebilir?

3)

8 1 2 7
3 a b 1
6 c d 9
6 5 7 3

dizilişinde abcd sayılarının herbirisi sağındaki, solundaki, üstündeki,
altındaki 4 komşusunun aritmetik ortalamasına eşit ise;
ad-bc=?

Bu konudan başka Cavabını Merak ettiğim başka bir soru:
1+2^x+2^2x+1=y² denklemini kaç tane (x,y) tamsayı ikilisi sağlar?

Kaliteli sorularmış. Keşke bizim öğretmenlerimizde böyle orjinal soruları bize gösterseler. Affınıza sığınarak hangi okulda okuduğunuzu sorabilir miyim?

1)

A B C D E F birer rakam.


Dizi şu şekilde gidecektir;

a₁=A

a₂=A+r

a₃=A+2r

a₄=A+3r

a₅=A+4r

a₆=A+5r

olur.

Bize 3.terimimiz C olarak verilmiştir. Yani C= A+2r olur.

CE, 2 basamaklı bir sayı olduğu için, bu sayıyı 10C+E olarak yazabiliriz.

Şimdi;

CE, dizimizin 5.terimi olduğundan, A+4r'ye eşittir.

CE'ye 10C+E demiştik, C'mizde A+2r olduğundan yerine yazarsak;

CE= 10A+20R+E olur. Bu ifadeyi de A+4r'ye eşitlersek E=-9A-16 olur. A ve E birer rakamdır. Hiçbir A rakamı değeri için E bir rakam olmaz. Bu sebeple böyle bir dizi olamaz.

1. çözülmüş ama şöyle daha kısa bir yol düşünebiliriz;
A,B,C rakam olduğuna göre C-A<9 olur ve dizinin ortak farkı da <5 bulunur
C+ortak fark=BD olduğundan BD<14 bulunur B=1 elde edilir , A için tek seçenek 0 kalır C=2 bulunur
sonuç olarak BD=3 gibi bir çelişki elde edilir

2.
sayılardan en az 1 tanesi en büyük olacağından 8 köşenin de bunu sağlamayacağı açıktır
7 tane içinse şöyle bir çözüm üretilebilir;
herhangi bir köşeye 1000 (çok büyük bir sayı) yazılır
ona bağlanan her köşeye 100 yazılır (görece herhangi küçük bir sayı)
bu yeni köşelere bağlanan köşelere 10 yazılır (görece daha da küçük herhangi bir sayı da olur)
kalan son köşeye de 1 yazılır
ilk köşe hariç her köşenin kendinin 3 katından büyük bir komşusu olduğundan komşularının ortalamalarından küçük kalmış olur ve istenen sağlanır.

3.
a ve d ye bakarsanız b ve c ikisinin de komşusudur a için 1 ve 3 , d için de 7 ve 9 komşu olduğundan d=a+((7+9-1-3)/4)=a+3 elde ederiz
benzer şekilde c=b+2 de bulunur
ardından
4a=1+3+b+c=1+3+b+b+2=2b+6 ve 4b=1+2+a+d=1+2+a+a+3=2a+6
iki denklemden a=b=3 bulunur , c=5 ve d=6
ad-bc=18-15=3

son sorunuza şimdi biraz baktım çözüm bulamadım ama cevabın (0,±2) olduğunu düşünüyorum. eğer çözülmezse yarın salim kafayla tekrar bakıp çözmeye çalışacağım.

4.
x=0 ve y=±2 nin çözüm olduğunu görmüştük
x<-1 ise sol tarafın tamsayı olmamasından dolayı çözüm olmayacağı açıktır
x=-1 de y²=2 elde ediliyor, burdan da çözüm gelmez
x>0 için
2^x+2^2x+1=y²-1
2^x(2^x+1+1)=(y-1).(y+1) , sol taraf çift olduğu için sağ taraf da çift olmalı yani y tek olmalı , ayrıca sağ taraftaki çarpanların obebi 2 olduğundan sol taraftaki 2^x çarpanının 2^x-1 lik kısmı bir çarpana kalan 2 kısmı da diğer çarpana gitmeli.
2^x-1=t dersek
2t.(4t+1)=(y-1).(y+1)
i)t çarpanı y-1 e gitse
a pozitif bir tamsayıyken y-1=a.t
8t²+2t=at.(at+2)
8t+2=a²t+2a , bu eşitliğin de a=1,2,3 için 2^x-1=t olmasını sağlayacak çözümü yoktur , fazlasına bakmaya gerek yok galiba

ii)t çarpanı y+1 e gitse
y+1=a.t
8t²+2t=(at-2).(at)
8t+2=a²t-2a , benzer şekilde t≥1 olduğu dikkate alınıp a=1,2,3,4 denenirse (a=5 ten sonra a²-8 in 2a+2 yi geçeceği kesin olduğundan denemeyi burda kesebiliriz)
a=3 için 8t+2=9t-6 → t=8=2^x-1 , x=4 , y=23 çözümü bulunur

bunun yanında y=-23 çözümü de bulunur (o çözümü de a negatif incelemesinde t nin y-1 çarpanına gittiği durumda elde ederiz)

sonuç olarak bu denklemin (0,±2) ve (4,±23) gibi 4 çözümü olduğu bulunur

gece gece biraz dağınık ve kötü bir çözüm oldu ama idare edin artık.

zahmet edip soruları çözdüğünüz için teşekkürler, çözümler açık ve anlışılır :)
edit: bende bilmiyordum ama küp sorusu olimpiyat sorusuymuş :D

@Arefat
İstanbul Türk Telekom Anadolu Lisesi